Question

（2013•威海）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A，B，AB=2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；
（3）設(shè)D為拋物線上一點，E為對稱軸上一點，若以點A，B，D，E為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為

（2，-1）

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線對稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c=0的兩根．由韋達定理易求b、c的值；
（2）如圖，連接AC、BC，BC交對稱軸于點P，連接PA．根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)得到PA=PB，則△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據(jù)兩點間的距離公式來求該三角形的周長的最小值即可；
（3）如圖2，點D是拋物線的頂點，所以根據(jù)拋物線解析式利用頂點坐標公式即可求得點D的坐標．

解答：解：（1）如圖，∵AB=2，對稱軸為直線x=2．
∴點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（3，0）．
∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A，B，
∴1、3是關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c=0的兩根．
由韋達定理，得
1+3=-b，1×3=c，
∴b=-4，c=3，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x²-4x+3；

（2）如圖1，連接AC、BC，BC交對稱軸于點P，連接PA．
由（1）知拋物線的函數(shù)表達式為y=x²-4x+3，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3），
∴BC=

32+32

=3

2

，AC=

32+12

=

10

．
∵點A、B關(guān)于對稱軸x=2對稱，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC．
此時，PB+PC=BC．
∴點P在對稱軸上運動時，（PA+PC）的最小值等于BC．
∴△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3

2

+

10

；

（3）如圖2，根據(jù)“菱形ADBE的對角線互相垂直平分，拋物線的對稱性”得到點D是拋物線y=x²-4x+3的頂點坐標，即（2，-1）．
故答案是：（2，-1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解題過程中用到的知識點有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱--兩點間距離最短，菱形的性質(zhì)．解（1）題時，也可以把點A、B的坐標代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組來求它們的值．