Question

（2013•威海）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，AB=2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；
（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（2，-1）

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c=0的兩根．由韋達(dá)定理易求b、c的值；
（2）如圖，連接AC、BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)得到PA=PB，則△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求該三角形的周長(zhǎng)的最小值即可；
（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，所以根據(jù)拋物線解析式利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，∵AB=2，對(duì)稱軸為直線x=2．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）．
∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，
∴1、3是關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c=0的兩根．
由韋達(dá)定理，得
1+3=-b，1×3=c，
∴b=-4，c=3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-4x+3；

（2）如圖1，連接AC、BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA．
由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-4x+3，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3），
∴BC=

32+32

=3

2

，AC=

32+12

=

10

．
∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC．
此時(shí)，PB+PC=BC．
∴點(diǎn)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（PA+PC）的最小值等于BC．
∴△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3

2

+

10

；

（3）如圖2，根據(jù)“菱形ADBE的對(duì)角線互相垂直平分，拋物線的對(duì)稱性”得到點(diǎn)D是拋物線y=x²-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即（2，-1）．
故答案是：（2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解題過(guò)程中用到的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱--兩點(diǎn)間距離最短，菱形的性質(zhì)．解（1）題時(shí)，也可以把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過(guò)解方程組來(lái)求它們的值．