Question

如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB
．求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD=∠ACE，又有對應(yīng)邊的關(guān)系，進而得出△ABP≌△QCA，即可得出結(jié)論．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，證明∠PAQ=90°即可．
解答：證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°（垂直定義），
∴∠ABD=∠ACE（等角的余角相等），
在△ABP和△QCA中，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ（全等三角形對應(yīng)邊相等）．

（2）由（1）可得∠CAQ=∠P（全等三角形對應(yīng)角相等），
∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP=90°（直角三角形兩銳角互余），
∴∠CAQ+∠CAP=90°（等量代換），即∠QAP=90°，
∴AP⊥AQ（垂直定義）．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握并運用．