Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=－x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個動點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長是　 　．

Answer 1

【答案】．

【解析】

（1）首先，需要證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡），如答圖②所示．利用相似三角形可以證明；
（2）其次，如答圖①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長．

由題意可知，OM=，點(diǎn)N在直線y=－x上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，則△OMN為等腰直角三角形，

∴ ON=．

如答圖①所示，

設(shè)動點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0，動點(diǎn)P在N點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn，連接B0Bn．

∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，

∴∠OAC=∠B0ABn．

又∵AB0=AOtan30°，ABn=ANtan30°，

∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°．

∴△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°．

∴B0Bn=ONtan30°=．

現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡）：

如答圖②所示，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP，ABi，B0Bi．

∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，

∴∠OAP=∠B0ABi．

又∵AB0=AOtan30°，ABi=APtan30°，

∴AB0：AO=ABi：AP．

∴△AB0Bi∽△AOP，

∴∠AB0Bi=∠AOP．

又∵△AB0Bn∽△AON，

∴∠AB0Bn=∠AOP．

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn．

∴點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡）．

綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為．