Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)M作直線MN交AC于點(diǎn)N，且保持∠NMC=45°，再過(guò)點(diǎn)N作AC的垂線交AB于點(diǎn)F，連接MF，將△MNF關(guān)于直線NF對(duì)稱后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△ENF與△ANF重疊部分的面積為y（cm2）．

（1）在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使得四邊形MNEF為正方形？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由；
（2）求y關(guān)于t的函數(shù)解析式及相應(yīng)t的取值范圍；
（3）當(dāng)y取最大值時(shí)，求sin∠NEF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：能使得四邊形MNEF為正方形；理由如下：

連接ME交NF于O，如圖1所示：

∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，

∴CN=CM=t，F(xiàn)N∥BC，

∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，

∴ = =2，

∴NF= AN= （8﹣t），

由對(duì)稱的性質(zhì)得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，

∵四邊形MNEF是正方形，

∴OE=ON=FN，

∴t= × （8﹣t），

解得：t= ；

即在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使得四邊形MNEF為正方形，t的值為 ；

（2）

解：分兩種情況：

①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，y= × （8﹣t）×t=﹣ t2+2t，

即y=﹣ t2+2t（0＜t≤2）；

②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2所示：作GH⊥NF于H，

由（1）得：NF= （8﹣t），GH=NH，GH=2FH，

∴GH= NF= （8﹣t），

∴y= NF′GH= × （8﹣t）× （8﹣t）= （8﹣t）2，

即y= （8﹣t）2（2＜t≤4）；

（3）

解：當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，y取最大值，

連接EM，如圖3所示：

則EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，

∵BM=4﹣t，

∴2t=2（4﹣t），

解得：t=2，

∴CN=CM=2，AN=6，

∴BM=4﹣2=2，NF= AN=3，

∴EM=2BM=4，

作FD⊥NE于D，則EB= = =2 ，△DNF是等腰直角三角形，

∴EF= = ，DF= HF= ，

在Rt△DEF中，sin∠NEF= = = ．

【解析】（1）由已知得出CN=CM=t，F(xiàn)N∥BC，得出AN=8﹣t，由平行線證出△ANF∽△ACB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出NF= AN= （8﹣t），由對(duì)稱的性質(zhì)得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性質(zhì)得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，由三角形面積得出y=﹣ t2+2t；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF= （8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH= NF= （8﹣t），由三角形面積得出y= （8﹣t）2（2＜t≤4）；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，y取最大值，連接EM，則EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF= AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB= =2 ，求出EF= = ，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出DF= HF= ，在Rt△DEF中，由三角函數(shù)定義即可求出sin∠NEF的值．
【考點(diǎn)精析】掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．