【答案】
分析:(1)由新定義的“蛋圓”圖形不難看出:“蛋圓”是一個軸對稱圖形,對稱軸與拋物線相同,因此圓心M在拋物線的對稱軸上,首先由拋物線的解析式確定點M的坐標,再由A、B關(guān)于點M對稱求出點B的坐標,則半圓的半徑可求;連接CM,在Rt△OCM中,CM是半圓的半徑,OM是點M橫坐標的絕對值,由勾股定理即可求得OC的長,則點C的坐標可求.
(2)首先將點A或點B的坐標代入拋物線的解析式中,求出a、c的數(shù)量關(guān)系,目標是令拋物線的解析式中只有一個待定系數(shù)a;通過觀察圖形不難看出:點B不可能是直角頂點,因此只考慮兩種情況:點O是直角頂點、點P是直角頂點;
Ⅰ、當點P在半圓上時,若存在符合條件的點P,那么a只要大于0就符合題干的要求,需要分兩種情況討論:
①若點O為直角頂點,那么點P為半圓與y軸的交點,顯然由(1)的結(jié)論可以判斷出OB、OC是否為相等關(guān)系,若相等,那么點C就符合點P的要求,若不相等,那么這種情況不予考慮;
②若點P為直角頂點,那么作OB的中垂線,若存在符合條件的點P,那么點P必為中垂線與半圓的交點,可以通過勾股定理求出該點到x軸的距離,然后判斷此距離是否為OB的一半即可.
Ⅱ、當點P在拋物線上時,若能求得符合條件的點P,可以代入拋物線的解析式中求出a的值;分兩種情況討論:
①若點O為直角頂點,同Ⅰ-①先求出點P的坐標,再代入拋物線的解析式中確定a的值;
②若點P為直角頂點,首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)確定點P的坐標(等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半),然后代入拋物線的解析式中求解即可.
(3)聯(lián)立直線和拋物線的解析式,消去y后,令所得的一元二次方程的根的判別式為0,即可求出a的值.
解答:
解:(1)由拋物線y=ax
2-2ax+c知,對稱軸 x=1;
∴點M的坐標為(1,0);
∵點A、B關(guān)于點M對稱,且A(-1,0)、M(1,0)
∴B(3,0),半圓的半徑 r=AM=BM=2;
連接CM,在Rt△OCM中,CM=r=2,OM=1,OC=

=

=

,即 C(0,

);
故答案:B(3,0)、C(0,

),半圓M的半徑為2.
(2)因為拋物線y=ax
2-2ax+c經(jīng)過A(-1,0),有:
a+2a+c=0,c=-3a

∴拋物線:y=ax
2-2ax-3a;
Ⅰ、當點P在半圓上時;
①點P是直角頂點,如右圖(圖Ⅰ-①);
若△OBP是等腰直角三角形,那么點P必在OB的中垂線上,即 AD=BD=PD=
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;
在Rt△OPD中,OP=2,OD=

,則 PD=
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=

≠

,
線段PD長的前后結(jié)論矛盾,所以這種情況不成立;
②點O是直角頂點;
由(1)知:OC=

<OB,因此這種情況也不成立.

Ⅱ、點P在拋物線上時;
①點P是直角頂點,如右圖(圖Ⅱ-①);
若△OPB是等腰直角三角形,則 OD=BD=PD=

,即 P(
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,-

);
將點P的坐標代入y=ax
2-2ax-3a中,有:
a×(

)
2-2a×

-3a=-

,
解得:a=

;
②點O是直角頂點,那么點P必為拋物線與y軸的交點(如圖Ⅱ-②);
若△OPB為等腰直角三角形,則 OP=OB=3,即 P(0,-3);
同①,求得:a=1.

綜上,當P(0,-3)時,a=1;當P(

,-

)時,a=

.
(3)聯(lián)立直線y=x-

與拋物線y=ax
2-2ax-3a,有:
x-

=ax
2-2ax-3a,
化簡,得:ax
2-(2a+1)x-3a+

=0
∴△=(2a+1)
2-4a(-3a+

)=16a
2-10a+1=0,
解得:a=

或a=

;
∴滿足條件的拋物線的解析式為:y=

x
2-x-

、y=

x
2-

x-

.
點評:該題給出了一個新圖形的定義,但歸根到底還是圓和二次函數(shù)的綜合題;主要涉及的考點有:圓和拋物線的對稱性、直線與拋物線交點個數(shù)的確定方法、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等;題目的難點是第二小題,涉及的情況較多,需要分類討論;需要注意的是,由于題干給出的是“點P在‘蛋圓’上”,因此點P在半圓上的情況也需要進行討論.