Question

仔細(xì)閱讀并完成下題：
我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”；如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，已知“蛋圓”是由拋物線y=ax²-2ax+c的一部分和圓心為M的半圓合成的．點(diǎn)A、B、C分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），AB為半圓的直徑，
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

，

0

）；點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

0

，

3

），半圓M的半徑為

2

；
（2）若P是“蛋圓”上的一點(diǎn)，且以O(shè)、P、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，以及所對(duì)應(yīng)的a的值；
（3）已知直線y=x-

7

2

是“蛋圓”的切線，求滿足條件的拋物線解析式．

Answer 1

分析：（1）由新定義的“蛋圓”圖形不難看出：“蛋圓”是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線相同，因此圓心M在拋物線的對(duì)稱軸上，首先由拋物線的解析式確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，則半圓的半徑可求；連接CM，在Rt△OCM中，CM是半圓的半徑，OM是點(diǎn)M橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，由勾股定理即可求得OC的長(zhǎng)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可求．
（2）首先將點(diǎn)A或點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，求出a、c的數(shù)量關(guān)系，目標(biāo)是令拋物線的解析式中只有一個(gè)待定系數(shù)a；通過(guò)觀察圖形不難看出：點(diǎn)B不可能是直角頂點(diǎn)，因此只考慮兩種情況：點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)、點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)；
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)P在半圓上時(shí)，若存在符合條件的點(diǎn)P，那么a只要大于0就符合題干的要求，需要分兩種情況討論：
①若點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)P為半圓與y軸的交點(diǎn)，顯然由（1）的結(jié)論可以判斷出OB、OC是否為相等關(guān)系，若相等，那么點(diǎn)C就符合點(diǎn)P的要求，若不相等，那么這種情況不予考慮；
②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，那么作OB的中垂線，若存在符合條件的點(diǎn)P，那么點(diǎn)P必為中垂線與半圓的交點(diǎn)，可以通過(guò)勾股定理求出該點(diǎn)到x軸的距離，然后判斷此距離是否為OB的一半即可．
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，若能求得符合條件的點(diǎn)P，可以代入拋物線的解析式中求出a的值；分兩種情況討論：
①若點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，同Ⅰ-①先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中確定a的值；
②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)（等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半），然后代入拋物線的解析式中求解即可．
（3）聯(lián)立直線和拋物線的解析式，消去y后，令所得的一元二次方程的根的判別式為0，即可求出a的值．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²-2ax+c知，對(duì)稱軸 x=1；
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）；
∵點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且A（-1，0）、M（1，0）
∴B（3，0），半圓的半徑 r=AM=BM=2；
連接CM，在Rt△OCM中，CM=r=2，OM=1，OC=

CM2-OM2

=

22-12

=

3

，即 C（0，

3

）；
故答案：B（3，0）、C（0，

3

），半圓M的半徑為2．

（2）因?yàn)閽佄锞�y=ax²-2ax+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），有：
a+2a+c=0，c=-3a
∴拋物線：y=ax²-2ax-3a；
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)P在半圓上時(shí)；
①點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，如右圖（圖Ⅰ-①）；
若△OBP是等腰直角三角形，那么點(diǎn)P必在OB的中垂線上，即 AD=BD=PD=

3

2

；
在Rt△OPD中，OP=2，OD=

3

2

，則 PD=

OP2-OD2

=

22-( 3 2 )2

≠

3

2

，
線段PD長(zhǎng)的前后結(jié)論矛盾，所以這種情況不成立；
②點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)；
由（1）知：OC=

3

＜OB，因此這種情況也不成立．
Ⅱ、點(diǎn)P在拋物線上時(shí)；
①點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，如右圖（圖Ⅱ-①）；
若△OPB是等腰直角三角形，則 OD=BD=PD=

3

2

，即 P（

3

2

，-

3

2

）；
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=ax²-2ax-3a中，有：
a×（

3

2

）²-2a×

3

2

-3a=-

3

2

，
解得：a=

2

5

；
②點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)P必為拋物線與y軸的交點(diǎn)（如圖Ⅱ-②）；
若△OPB為等腰直角三角形，則 OP=OB=3，即 P（0，-3）；
同①，求得：a=1．
綜上，當(dāng)P（0，-3）時(shí)，a=1；當(dāng)P（

3

2

，-

3

2

）時(shí)，a=

2

5

．

（3）聯(lián)立直線y=x-

7

2

與拋物線y=ax²-2ax-3a，有：
x-

7

2

=ax²-2ax-3a，
化簡(jiǎn)，得：ax²-（2a+1）x-3a+

7

2

=0
∴△=（2a+1）²-4a（-3a+

7

2

）=16a²-10a+1=0，
解得：a=

1

2

或a=

1

8

；
∴滿足條件的拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

、y=

1

8

x²-

1

4

x-

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：該題給出了一個(gè)新圖形的定義，但歸根到底還是圓和二次函數(shù)的綜合題；主要涉及的考點(diǎn)有：圓和拋物線的對(duì)稱性、直線與拋物線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定方法、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等；題目的難點(diǎn)是第二小題，涉及的情況較多，需要分類討論；需要注意的是，由于題干給出的是“點(diǎn)P在‘蛋圓’上”，因此點(diǎn)P在半圓上的情況也需要進(jìn)行討論．