Question

如圖，若直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點(diǎn)，與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)B，且OA=OB，△OAB的面積為
（1）求直線AB的解析式及雙曲線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值．

Answer 1

解：（1）∵直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點(diǎn)A，
∴OA=，
又∵OA=OB，
∴OB=，
過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，
∵△OAB的面積為，即OA•BM=，
∴BM=2，在Rt△OBM中可求OM=1.5，
∴B（-1.5，2），
再根據(jù)待定系數(shù)法可得：，
解得：k=，b=，
∴直線AB的解析式為：y=x+；
再將點(diǎn)B代入函數(shù)y=得：m=-，
∴雙曲線的解析式為：y=-；

（2）∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAM，
在Rt△ABM中，BM=2，AM=+2=，
∴tan∠ABO=tan∠BAM==．
分析：（1）由直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點(diǎn)A，可得出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)OA=OB，可知OB=，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，由△OAB的面積為，可得出BM的長(zhǎng)，在Rt△OBM中利用勾股定理可得出OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)．再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式；
（2）求tan∠ABO的值，即在Rt△ABM中tan∠ABO=tan∠BAM=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，涉及面較廣，難度適中．