Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C，BE⊥CD，垂足為E．連接AC、BC．
（Ⅰ）求證：BC平分∠ABE；
（Ⅱ）若∠A=60°，OA=2，求CE的長．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵CD是⊙O切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OCB=∠CBE，
又∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠OBC，即BC平分∠ABE；

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=AB•sinA=2×2×sin60°=，
在Rt△BCE中，∵∠CBE=∠ABC=90°-∠A=30°，
∴CE=BC=．
分析：（1）利用切線的性質(zhì)首先得出∠OCB=∠CBE，進而得出∠CBE=∠OBC即可求出BC平分∠ABE；
（2）首先利用銳角三角函數(shù)關系得出BC=AB•sinA=2×2×sin60°=，進而求出∠CBE=∠ABC=90°-∠A=30°，即可求出CE的長．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCB=∠CBE是解題關鍵．