【題目】綜合與實踐

問題情境:正方形折疊中的數(shù)學(xué)

已知正方形紙片ABCD中,AB=4,點EAB邊上的一點,點GCE的中點,將正方形紙片沿CE所在直線折疊,點B的對應(yīng)點為點B′.

(1)如圖1,當(dāng)∠BCE=30°時,連接BG,B′G,求證:四邊形BEB′G是菱形;

深入探究:

(2)CD邊上取點F,使DF=BE,點HAF的中點,再將正方形紙片ABCD沿AF所在直線折疊,點D的對應(yīng)點為D′,順次連接B′,G,D′,H,B',得到四邊形B′GD′H.

請你從A,B兩題中任選一題作答,我選擇   題.

A題:如圖2,當(dāng)點B',D′均落在對角線AC上時,

①判斷B′GD′H的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并說明理由;

②直寫出此時點H,G之間的距離.

B題:如圖3,點MAB的中點,MNBCCD于點N,當(dāng)點B',D′均落在MN上時,

①判斷B′GD′H的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并說明理由;

②直接寫出此時點H,G之間的距離.

【答案】(1)證明見解析;(2)AB;A題:B′G=D′H,B′GD′H;GH=8﹣4;

B題:①B′G=D′H,B′GD′H;GH= 4﹣4.

【解析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得BE=BE′,∠CB′E=∠ABC=90°,然后根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線,30度角所對直角邊為斜邊的一半”即可證明四邊形BEB′G是菱形;(2)A題:如圖2,根據(jù)正方形的性質(zhì)通過“邊角邊”易證△BCE≌△ADF(SAS),可得CE=AF,∠3=∠4,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半可得B′G=D′H,根據(jù)平行線的判定可證B′G∥D′H;

連接GH,則四邊形AEGH是平行四邊形,所以AE=GH,設(shè)BE=EB′=m,則AE=m,可得關(guān)于m的方程m+m=4,,求解方程即可;

B題:如圖3,得出的結(jié)論與解題思路同A題中的①;

連接GH,則四邊形AEGH是平行四邊形,在Rt△CNB′中,利用勾股定理求得NB′=2,MB′=4﹣2,設(shè)BE=EB′=y,R△EMB′中,則有y2=(2﹣y)2+(4﹣22,然后求解方程,最后根據(jù)GH=AE=AB﹣BE即可得到答案.

(1)證明:如圖1中,

四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABC=90°,

由折疊可知:BE=BE′,∠CB′E=∠ABC=90°,

Rt△BCERt△ECB′中,

∵EG=GC,

∴BG=EC,GB′=EC,

∴BG=GB′,

Rt△BCE中,

∵∠BCE=30°,

∴BE=CE,

∴BE=EB′=B′G=BG,

四邊形BEB′G是菱形;

(2)選AB.

A題:結(jié)論:B′G=D′H,B′G∥D′H.

理由:如圖2中,

由(1)得到:B′G=CE,

GCE的中點,

∴CG=CE,

∴B′G=CG,

∴∠1=∠2,

四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=∠D=90°,AD=BC,

∵BE=DF,

∴△BCE≌△ADF(SAS),

∴CE=AF,∠3=∠4,

由折疊可知:∠D=∠AD′F=90°,∠2=∠3,∠4=∠5,

∴∠2=∠5=∠1,

Rt△AD′F中,

∵HAF的中點,

∴D′H=AH=AF,

∴B′G=D′H,∠5=∠6,

∴∠1=∠6,

∴B′G∥D′H;

連接GH,則四邊形AEGH是平行四邊形,

∴AE=GH,設(shè)BE=EB′=m,則AE=m,

∴m+m=4,

∴m=4﹣4,

∴GH=AE=8﹣4;

B題:結(jié)論:B′G=D′H,B′G∥D′H.

理由:

由(1)得到:B′G=CE,

GCE的中點,

∴CG=CE,

∴B′G=CG,

∴∠1=∠2,

四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=∠D=90°,AD=BC,AD∥BC,

∵BE=DF,

∴△BCE≌△ADF(SAS),

∴CE=AF,∠3=∠4,

由折疊可知:∠D=∠AD′F=90°,∠2=∠3,∠4=∠5,

∴∠2=∠5=∠1,

Rt△AD′F中,

∵HAF的中點,

∴D′H=AH=AF,

∴B′G=D′H,∠5=∠6,

∴∠1=∠6,

∵MN∥BC,

∴MN∥BC∥AD,

∴∠AD′M=∠DAD′=2∠4,∠CB′N=∠BCB′=2∠3,

∴∠AD′M=∠CB′N,

∴∠AD′M+∠6=∠CB′N+∠1,

∠HD′M=∠GB′N,

∴B′G∥D′H;

連接GH,則四邊形AEGH是平行四邊形,

∴AE=GH,

Rt△CNB′中,CB′=4,CN=2,

∴NB′=2,

∴MB′=4﹣2,

設(shè)BE=EB′=y,

R△EMB′中,則有y2=(2﹣y)2+(4﹣22,

∴y=8﹣4,

∴GH=AE=AB﹣BE=4﹣4.

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