Question

【題目】如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）6

【解析】分析:（1）連接OC，根據題意可證得∠CAD+∠DCA=90°，再根據角平分線的性質，得∠DCO=90°，則CD為 O的切線；

（2）過O作OF⊥AB，則∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四邊形OCDF為矩形，設AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長．

本題解析

(1)證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO為O半徑，∴CD為O的切線；

(2)過O作OF⊥AB，垂足為F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90，∴四邊形DCOF為矩形，∴OC=FD，OF=CD.∵DC+DA=6，設AD=x，則OF=CD=6x，∵O的直徑為10，∴DF=OC=5，∴AF=5x，

在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA.

即(5x) +(6x) =25，化簡得x11x+18=0，

解得 .

∵CD=6x大于0，故x=9舍去，∴x=2，從而AD=2，AF=52=3，

∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，∴AB=2AF=6.