Question

如圖，∠PAQ是直角，⊙O與AP相切于點T，與AQ交于B、C兩點．
（1）BT是否平分∠OBA，說明你的理由；
（2）若已知AT=4，弦BC=6，試求⊙O的半徑R．

Answer 1

【答案】分析：（1）BT平分∠OBA，理由為：連接OT，由AP為圓O的切線，利用切線的性質得到OT垂直于AP，再由QA垂直于AP，得到OT與QA平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由OB=OT，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換可得出∠OBT=∠ABT，即BT為角平分線，得證；
（2）過O作OD垂直于BC，利用垂徑定理得到D為BC的中點，由BC的長求出BD的長，再由四邊形ADOT為矩形，利用矩形的對邊相等得到OD=AT，由AT的長得出OD的長，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出OB的長，即為圓的半徑．
解答：（1）BT平分∠OBA，理由為：
證明：連接OT，如圖所示，
∵AP與圓O相切，
∴OT⊥AP，
∴∠OTP=90°，
又∠QAP=90°，
∴∠OTP=∠QAP，
∴OT∥QA，
∴∠OTB=∠ABT，
又∵OB=OT，
∴∠OBT=∠OTB，
∴∠OBT=∠ABT，
則BT平分∠OBA；

（2）解：過O作OD⊥BC，又BC=6，
可得D為BC的中點，即BD=CD=3，
∵四邊形ODAT為矩形，
∴OD=AT=4，
在Rt△OBD中，BD=3，OD=4，
根據勾股定理得：OB==5，
則圓的半徑為5．
點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質，及垂徑定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．