Question

已知：如圖，⊙O的半徑為r，CE切⊙O于C，且與弦AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-3（r-2）x+r²-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
求：（1）AC、BC的長(zhǎng)；（2）CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）△ECB與△EAC相似，得出AC，BC的關(guān)系，結(jié)合二次方程得出AC，BC，r的長(zhǎng)．
（2）連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于F，證明△ACF∽△DCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵CE切⊙O于C
∴∠ECB=∠A，∠E=∠E
∴△ECB∽△EAC
∴BC：AC=BE：CE=1：2
∴AC=2BC
∵

AC+BC=3(r-2) AC•BC=r2-4

∴

BC=r-2 2BC2=r2-4

解得BC=4，r=6，AC=8．

（2）連接CO并延長(zhǎng)交⊙O與F，連接AF
∵∠CAF 90°，∠CFA=∠CBD
∵∠CDB=90°=∠CAF
∴△CAF∽△CDB
∴AC：CD=CF：BC
∴CD=

AC•BC

CF

=

8×4

12

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，會(huì)解方程組．