Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）拋物線在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使△QBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QBC的面積最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

當(dāng)y=0時(shí)，即﹣x2﹣2x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴B（﹣3，0）、C（0，3）

（2）

解：存在；

如圖1，∵拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3，

∴拋物線的對稱軸x=﹣1，C（0，3）

∴C′（﹣2，3），

設(shè)直線AC′的解析式為：y=kx+b，

∵A（1，0），

∴ 解得 ，

∴直線AC′的解析式為：y=﹣x+1，

把x=﹣1代入直線AC′的解析式y(tǒng)=﹣x+1，得y=2，

∴P（﹣1，2）

（3）

解：存在；

如圖2，設(shè)Q（m，﹣m2﹣2m+3），過Q作QP⊥x軸于P，

∴OP=﹣m，PQ=﹣m2﹣2m+3，BP=3+m，

∴S△PBQ= BPPQ= （3+m）（﹣m2﹣2m+3），S四邊形QPOC= （OC+PQ）OP= （3﹣m2﹣2m+3）（﹣m），S△BOC= OBOC= ×3×3= ，

∴S△PBC=S△PBQ+S四邊形QPOC﹣S△BOC=﹣ m2﹣ m，

即S△PBC=﹣ m2﹣ m=﹣ （m+ ）2+ ，

∴當(dāng)m=﹣ 時(shí)，△QBC的面積最大，最大值為 ；

∴Q（﹣ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與系數(shù)的關(guān)系即可求得；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)先找出C的對稱點(diǎn)C′，然后連接AC′即可找到P點(diǎn)，最后根據(jù)A、C′的坐標(biāo)求得直線AC′的解析式，即可求得P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)S△QBC=S△QBP+S四邊形QPOC﹣S△BOC即可求得解析式，根據(jù)解析式即可求得求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QBC的面積最大值；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．