Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．

（1）求證：直線DF與⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

連接OD．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴OD⊥DF，

∵點D在⊙O上，

∴直線DF與⊙O相切；

（2）解：∵四邊形ACDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠AED+∠ACD=180°，

∵∠AED+∠BED=180°，

∴∠BED=∠ACD，

∵∠B=∠B，

∴△BED∽△BCA，

∴ = ，

∵OD∥AB，AO=CO，

∴BD=CD= BC=3，

又∵AE=7，

∴ = ，

∴BE=2，

∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．

【解析】（1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得OD∥AD，再證明DF⊥OD，即查得到DF為⊙O的切線；
（2）四邊形ACDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BED=∠ACD，∠B=∠B，證得△BED∽△BCA，再由相似三角形的性質(zhì)求得BE的值，最后即可求得AC的長.
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．