Question

【題目】已知：如圖1，過等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為E，連接BE，CE，其中CE交直線AP于點(diǎn)F．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）若∠PAB＝16°，求∠ACF的度數(shù)；

（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，FE，FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）29°；（3）FE2+FC2＝2AB2

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

（2）連接AE，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AE＝AB，∠EAP＝∠BAP＝16°，AE＝AC＝AB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求∠ACF的度數(shù)；

（3）連接AE，BF，設(shè)BF交AC于點(diǎn)G，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AE＝AB，FE＝FB，可證△AEF≌△ABF，可得∠FEA＝∠FBA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACE＝∠ABF，即可求∠CFB＝∠BAC＝90°，根據(jù)勾股定理可得線段AB，FE，FC之間的數(shù)量關(guān)系．

解：（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示．

（2）如圖，連接AE，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于直線AP對稱，

∴對稱軸AP是EB的垂直平分線．

∴AE＝AB，∠EAP＝∠BAP＝16°，

∵等腰直角三角形ABC，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴AE＝AC，

∴∠AEC＝∠ACF

∴2∠ACF+32°+90°＝180°，

∴∠ACF＝29°，

（3）AB，FE，FC滿足的數(shù)量關(guān)系：FE2+FC2＝2AB2，

理由如下：連接AE，BF，設(shè)BF交AC于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于直線AP對稱，

∴對稱軸AP是EB的垂直平分線，

∴AE＝AB，FE＝FB，

又∵AF＝AF，

∴△AEF≌△ABF（SSS），

∴∠FEA＝∠FBA，

∵AB＝AC，

∴AE＝AC，

∴∠ACE＝∠AEC，

∴∠ACE＝∠ABF，

又∵∠CGF＝∠AGB，

∴∠CFB＝∠BAC＝90°，

∴FB2+FC2＝BC2．

∵BC2＝2AB2，

∴FE2+FC2＝2AB2