Question

（1998•浙江）如圖，BC是⊙A的直徑，以B為圓心的圓與⊙A交于M，N兩點，MN交BC于點P．
（1）求證：CM是⊙B的切線；
（2）若⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為1，求CM和MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB是直徑，可知∠MBC=90°，那么有BM⊥CM，從而CM是⊙B的切線；
（2）在Rt△BCM中，利用勾股定理可求CM，又BC⊥MN，BM⊥CM，可得∠CPM=∠CMB=90°，再加上一對公共角，可△MPC∽△BMC，可得比例線段，可求出PM，從而利用垂徑定理可求出MN．
解答：（1）證明：連接BM，
∵BC是⊙A的直徑，
∴∠MBC=90°，
∴BM⊥CM，
∴CM是⊙B的切線；

（2）解：在Rt△BCM中，
∵BC=2×2=4，BM=1，
∴CM===，
又∵BC是直徑，
∴BC⊥MN，
∴∠CPM=90°，MN=2PM；
又∵∠CMB=90°，∠MCP=∠BCM，
∴△MPC∽△BMC，
∴BM：BC=PM：CM，
∴1：4=PM：，
∴PM=，
∴MN=2PM=．
點評：本題利用了切線的判定、勾股定理、垂徑定理、相似三角形的判定和性質等知識．