Question

【題目】在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠DBE=∠ABC．

（1）如圖1，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），連接DE′．求證：DE′=DE；

（2）如圖2，若∠ABC=90°，AD=4，EC=2，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，則∠E′BE=∠ABC，再利用∠DBE=∠ABC易得∠DBE′=∠DBE，根據(jù)“SAS”判斷△BDE′≌△BDE，所以DE′=DE；

（2）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），如圖2，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BCE=∠BAD=45°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，則∠DAE′=90°，在Rt△DAE′中利用勾股定理可計算出DE′=2，然后就根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到DE=DE′=2．

（1）證明：∵以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），

∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，

∴∠E′BE=∠ABC，

∵∠DBE=∠ABC，

∴∠DBE=∠E′BE，即∠DBE′=∠DBE，

在△BDE′和△BDE中，

，

∴△BDE′≌△BDE（SAS），

∴DE′=DE；

（2）解：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），如圖2，

∵∠ABC=90°，BA=BC，

∴∠BCE=∠BAD=45°，

∵△EBC按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△E′BA，

∴∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，

∴∠DAE′=∠BAD+∠BAE′=90°，

在Rt△DAE′中，∵DE′2=AD2+AE′2=42+22=20，

∴DE′=2，

由（1）的結(jié)論得DE=DE′=2．