Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．

（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；

（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；

（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1（2）（3）（2，3）、（0，1）、、。（4）

【解析】

解：（1）由拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得。∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n，由直線AC過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得

，解得。∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1。

（2）作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，

令x=0，得y=3，即N（0，3）。

∴N′（6， 3）

由得

D（1，4）。

設(shè)直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=sx+t，則

，解得。

∴故直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為。

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，知當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小，

∴。

∴使MN+MD的值最小時(shí)m的值為。

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

①當(dāng)BD為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，由B、C、D、N的坐標(biāo)知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，即E（2，3）。

②當(dāng)BD為平行四邊形邊時(shí)，

∵點(diǎn)E在直線AC上，∴設(shè)E（x，x+1），則F（x，）。

又∵BD=2

∴若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時(shí)，BD=EF。

∴，即。

若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。

若，解得，，∴E或E。

綜上，滿足條件的點(diǎn)E為（2，3）、（0，1）、、。

（4）如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，

設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3）。

∴。

∴

。

∵，

∴當(dāng)時(shí)，△APC的面積取得最大值，最大值為。

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式。

（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小。

（3）分BD為平行四邊形對(duì)角線和BD為平行四邊形邊兩種情況討論。

（4）如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3），求得線段PQ=﹣x2+x+2。由圖示以及三角形的面積公式知，由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值。