【題目】
(已有經(jīng)驗(yàn))
我們已經(jīng)研究過作一個(gè)圓經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn),也研究過作一個(gè)圓與已知角的兩條邊都相切,尺規(guī)作圖如圖所示:
(遷移經(jīng)驗(yàn))
(1)如圖①,已知點(diǎn)M和直線l,用兩種不同的方法完成尺規(guī)作圖:求作⊙O,使⊙O過M點(diǎn),且與直線l相切.(每種方法作出一個(gè)圓即可,保留作圖痕跡,不寫作法)
(問題解決)
如圖②,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.
(2)已知⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,且與直線AB相切.若圓心O在△ABC的內(nèi)部,則⊙O半徑r的取值范圍為 .
(3)點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn),BD=m,請直接寫出邊AC上使得∠BED為直角時(shí)點(diǎn)E的個(gè)數(shù)及相應(yīng)的m的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析.
【解析】
(1)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線,作線段的垂直平分線確定圓心,從而畫圓;
(2)分別作出符合題意的臨界點(diǎn)圖形,確定半徑的取值范圍;
(3)根據(jù)圓周角定理,點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上,從而確定出符合條件的圓的半徑的取值范圍.
(1)如圖,
(2)如圖:
此時(shí)圓O的半徑最小,∵圓O與AB相切,
∴CD⊥AB,根據(jù)直角三角形的面積公式可得:
根據(jù)勾股定理可得:
∴10CD=8×6
CD=4.8,即此時(shí)圓的半徑r=2.4
如圖,當(dāng)圓心O在AC邊上時(shí),根據(jù)題意設(shè)OC=OD=x,則AO=8-x
∵∠ODA=∠BCA=90°,且∠A=∠A
∴△AOD∽△ABC
∴ , 解得x=3
∴
(3)如圖:
根據(jù)圓周角定理∠BED為直角時(shí),則以BD為直徑的圓與AC交于點(diǎn)E,當(dāng)OE⊥AC時(shí),此時(shí)有一個(gè)點(diǎn)E符合條件,由題意可知:OE= ,AO=
∵OE∥BC
∴ ,
解得:m=7.5
當(dāng)BD=AB時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,此時(shí)m=10
∴時(shí),有1個(gè)點(diǎn)E符合題意
時(shí),有0個(gè)點(diǎn)E符合題意
時(shí),有2個(gè)點(diǎn)E符合題意.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知△OAB是等腰直角三角形,且∠OAB=90°,若點(diǎn)A的坐標(biāo)(3,1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑為1,A,P,B,C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn).∠APC=∠CPB=60°.
(1)判斷△ABC的形狀: ;
(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)點(diǎn)P位于的什么位置時(shí),四邊形APBC的面積最大?求出最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】初中數(shù)學(xué)代數(shù)知識中,方程、函數(shù)、不等式存在著緊密的聯(lián)系,請閱讀下列兩則材料,回答問題:
利用函數(shù)圖象找方程解的范圍.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.則函數(shù)的圖象經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)與,而點(diǎn)在軸下方,點(diǎn)在軸上方,則該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)必大于-2,小于-1.故,方程的有解,且該解的范圍為.
材料二:
解一元二次不等式.由“異號兩數(shù)相乘,結(jié)果為負(fù)可得:
情況①,得,則
情況②,得,則無解
故,的解集為.
(1)請根據(jù)材料一解決問題:已知方程有唯一解,且(為整數(shù)),求整數(shù)的值.
(2)請結(jié)合材料一與材料二解決問題:若關(guān)于的方程的解分別為,,且,,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD中,AD是⊙O的弦,BC是⊙O的切線,切點(diǎn)為B.
(1)求證:;
(2)若AB=5,AD=8,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對角線,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E為AD的中點(diǎn),連接BE.
(1)求證:四邊形BCDE為菱形;
(2)連接AC,若AC平分∠BAD,AB=2,求菱形BCDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)F(2,0),直線GF交y軸正半軸于點(diǎn)G,且∠GFO=30°.
(1)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);
(2)若⊙O的半徑為1,點(diǎn)P是直線GF上的動(dòng)點(diǎn),直線PA、PB分別約⊙O相切于點(diǎn)A、B.
①求切線長PB的最小值;
②問:在直線GF上是夠存在點(diǎn)P,使得∠APB=60°,若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為x軸上一點(diǎn),以OA為直徑的作半圓M,點(diǎn)B為OA上一點(diǎn),以OB為邊作□OBDC交半圓M于C,D兩點(diǎn).
(1)連接AD,求證:DA=DB;
(2)若A點(diǎn)坐標(biāo)為(20,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(16,0),求點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,AM是△ACD的外角∠DAF的平分線.
(1)求證:AM是⊙O的切線;
(2)若∠D = 60°,AD = 2,射線CO與AM交于N點(diǎn),請寫出求ON長的思路.
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