【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)F20),直線GFy軸正半軸于點(diǎn)G,且∠GFO=30°


1)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);
2)若⊙O的半徑為1,點(diǎn)P是直線GF上的動(dòng)點(diǎn),直線PA、PB分別約⊙O相切于點(diǎn)A、B
①求切線長PB的最小值;
②問:在直線GF上是夠存在點(diǎn)P,使得∠APB=60°,若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)(0,2);(2PB的最小值為;②存在,P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)或(1).

【解析】

1)根據(jù)含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系得到OG=OF=2,于是得到G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2);
2)連結(jié)OAOB、OP,①由于PB為⊙O的切線,根據(jù)切線的性質(zhì)得OBPB,在RtPOB中,根據(jù)勾股定理得PB=,則當(dāng)OP最小時(shí),PB最小,此時(shí)OPFG,在RtOPF中,根據(jù)含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系得到OP= ,于是得到PB的最小值為 ;②由于PAPB為⊙O的切線,根據(jù)切線長定理得∠OPB=APB=30°,在RtOPB中,根據(jù)含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系得OP=2OB=2,由于OG=2,所以點(diǎn)P在點(diǎn)G的位置時(shí),滿足要求,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(02);由∠OFG=30°,可得∠OGF=60°,GF=2OG=4,加上OP=OG=2,于是可判斷OPG為等邊三角形,則PG=OP=2,可判斷點(diǎn)PGF的中點(diǎn),然后根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1).

1)∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),
OF=2
∵∠GFO=30°,
OG=OF=2,
G點(diǎn)坐標(biāo)為(02);
2)連結(jié)OA、OB、OP,如圖,
①∵PB為⊙O的切線,
OBPB
∴∠PBO=90°,


RtPOB中,OB=1
PB=,
∴當(dāng)OP最小時(shí),PB最小,
此時(shí)OPFG,
RtOPF中,OF=2,∠OFP=30°
OP=,
PB的最小值為;
②存在.
PA、PB為⊙O的切線,
OP平分∠APB,
∴∠OPB=APB=×60°=30°,
RtOPB中,OB=1,∠OPB=APB=30°
OP=2OB=2,
OG=2,
∴點(diǎn)P在點(diǎn)G的位置時(shí),滿足要求,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(02);
∵∠OFG=30°,
∴∠OGF=60°GF=2OG=4,
OP=OG=2,
∴△OPG為等邊三角形,
PG=OP=2,
∴點(diǎn)PGF的中點(diǎn),
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),
綜上所述,滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(02)或(,1).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖:四邊形ABCD中,E、FG、H分別為各邊的中點(diǎn),順次連接E、F、GH,把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形.連接AC、BD,容易證明:中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形.

1)如果改變?cè)倪呅?/span>ABCD的形狀,那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變,通過探索可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足ACBD時(shí),四邊形EFGH為菱形.當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足   時(shí),四邊形EFGH為矩形;當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足   時(shí),四邊形EFGH為正方形;

2)探索三角形AEH、三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關(guān)系,請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并加以證明;

3)如果四邊形ABCD的面積為2,那么中點(diǎn)四邊形EFGH的面積是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2019101日的建國70周年慶典上,有多國領(lǐng)導(dǎo)人出席觀看了我國盛大的閱兵儀式.為表示友好,我國政府選擇將刺繡和陶瓷兩類工藝品作為國禮贈(zèng)送給所有的來賓.甲,乙兩個(gè)工廠分別承接了制作,兩種刺繡與種陶瓷的任務(wù).甲工廠安排100名工人制作刺繡,每人只能制作其中一種刺繡,乙工廠安排50名工人制作種陶瓷.的人均制作數(shù)量比的人均制作數(shù)量少3件,的人均制作量比的人均制作量少20%.若本次贈(zèng)送的國禮(,,三樣禮品)的人均制作數(shù)量比的人均制作數(shù)量少30%,且的人均制作數(shù)量為偶數(shù)件,則本次贈(zèng)送的國禮共制作了_________.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】

(已有經(jīng)驗(yàn))

我們已經(jīng)研究過作一個(gè)圓經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn),也研究過作一個(gè)圓與已知角的兩條邊都相切,尺規(guī)作圖如圖所示:

(遷移經(jīng)驗(yàn))

1)如圖①,已知點(diǎn)M和直線l,用兩種不同的方法完成尺規(guī)作圖:求作⊙O,使⊙OM點(diǎn),且與直線l相切.(每種方法作出一個(gè)圓即可,保留作圖痕跡,不寫作法)

(問題解決)

如圖②,在RtABC中,∠C90°,AC8,BC6

2)已知⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,且與直線AB相切.若圓心OABC的內(nèi)部,則⊙O半徑r的取值范圍為

3)點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn),BDm,請(qǐng)直接寫出邊AC上使得∠BED為直角時(shí)點(diǎn)E的個(gè)數(shù)及相應(yīng)的m的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D移動(dòng).

(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止,點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),問經(jīng)過多長時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm?

(2)若點(diǎn)P沿著AB→BC→CD移動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D停止時(shí),點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng),試探求經(jīng)過多長時(shí)間PBQ的面積為12cm2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,AB、BC是半徑為O內(nèi)的兩條弦,且AB=6BC=8.(1)若∠ABC=90°,則=________;(2)若∠ABC=120°,則=______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中,△ABC和△A'B'C'的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的格點(diǎn)上.

1)填空:∠BAC °AB ;

2)判斷:△ABC和△A'B'C這兩個(gè)三角形相似嗎?為什么?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】矩形ABCDCEFG,如圖放置,點(diǎn)B,C,E共線,點(diǎn)C,D,G共線,連接AF,取AF的中點(diǎn)H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=(  )

A. 1 B. C. D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某購物商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元;為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件襯衫每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件.

(1)每天銷售這種襯衫的盈利要達(dá)到1200元,則每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?

(2)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)每天盈利最多?利潤是多少?

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