Question

如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個大的長方形ABEF．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為a．

（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時，求旋轉(zhuǎn)角a的值；

（2）如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0°＜a＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值；若不能說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）30°；（2）詳見試題解析; （3）135°或315°.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，則∠CD′E=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α=30°；

（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△DCE′，

則GD′=E′D；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315°．

試題解析：（1）∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，

∴CD′=CD=2，

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，

∴∠CD′E=30°，

∵CD∥EF，

∴∠α=30°；

（2）∵G為BC中點(diǎn)，

∴CG=1，

∴CG=CE，

∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，

∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，

在△GCD′和△DCE′中

，

∴△GCD′≌△E′CD（SAS），

∴GD′=E′D；

（3）能．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴CB=CD，

∵CD=CD′，

∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，

當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時，△BCD′≌△DCD′，

當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，α==135°，

當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，α=360°﹣=315°，

即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等．

考點(diǎn)： 1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.矩形的性質(zhì)；4.正方形的性質(zhì)．