Question

如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形ABEF.現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,旋轉(zhuǎn)角為.

（1）當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的值；

（2）如圖2，G為BC的中點(diǎn)，且0⁰＜＜90⁰，求證：；

（3）小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）∠α=30⁰（2）見解析（3）旋轉(zhuǎn)角a的值為135⁰或315⁰時(shí)，△BCD′與∠DCD′全等

【解析】解：（1）∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴CD′=CD=2。

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴sinα=�！唷螩D′E=30⁰。

∵CD∥EF，∴∠α=30⁰。

（2）證明：∵G為BC中點(diǎn)，BC=2，∴CG=1�！郈G=CE。

∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=90⁰，CE=CE′CE�！唷螱CD′=∠DCE′=90⁰+α。。

在△GCD′和△∠DCE′中，

∵，∴△GCD′≌△∠DCE′（SAS）。∴GD′=E′D。

（3）能。理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD。

∵CD=CD′，∴△BCD′與∠DCD′為腰相等的兩等腰三角形。

當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí)，△BCD′≌∠DCD。

當(dāng)△BCD′與∠DCD′為鈍角三角形時(shí)， ；

當(dāng)△BCD′與∠DCD′為銳角三角形時(shí)，。

∴旋轉(zhuǎn)角a的值為135⁰或315⁰時(shí)，△BCD′與∠DCD′全等。

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，則∠CD′E=30⁰，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α=30⁰。

（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90⁰+α，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△∠DCE′，GD′=E′D。

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與∠DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與∠DCD′為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出α=135⁰，當(dāng)△BCD′與∠DCD′為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到α=315⁰。