Question

8．2014年寧波市舉行“足球迷”杯足球比賽，共有奇數(shù)個足球隊參加，每個隊都同其他隊比賽一場，記分辦法為勝一場得1分、平一場得0.5分，負一場得0分．已知其中有兩隊共得10分，其他隊的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的足球隊共有幾支？

Answer 1

分析 根據(jù)比賽場數(shù)乘以每場的得分，可得總得分，根據(jù)其他隊的得分與兩隊得分的和也是總得分，可得方程，根據(jù)隊數(shù)、得分數(shù)都是整數(shù)，可得答案．

解答 解：設參加此次比賽的足球隊共有x支（x為正奇數(shù)），則全部比賽場次為$\frac{1}{2}$x（x-1），
∵每場得一分，
∴共得$\frac{1}{2}$x（x-1）分，
設其他隊的平均分為y，（y為正整數(shù)），則總得分為10+y（x-2）
∴根據(jù)題意得，$\frac{1}{2}$x（x-1）=10+y（x-2），
∴y=$\frac{{x}^{2}-x-20}{2（x-2）}$=$\frac{{（x}^{2}-x-2）-18}{2（x-2）}$=$\frac{（x+1）（x-2）-18}{2（x-2）}$=$\frac{x+1}{2}$-$\frac{9}{x-2}$，
∵x為正奇數(shù)，
∴$\frac{x+1}{2}$為正整數(shù)，
∵y為正整數(shù)，
∴$\frac{9}{x-2}$是正整數(shù)，
∴（x-2）必須是9的因數(shù)，9的因數(shù)有1、3、9，
∴（x-2）可能為1、3、9，
∴x=3、5、11．
∵其中有兩隊共得10分，
∴$\frac{1}{2}$x（x-1）＞10，
∴x²-x-20＞0，
∴（x+4）（x-5）＞0，
∴x＞5或x＜-4（舍），
∴x=11，
所以參加此次比賽的足球隊共有11支．

點評 此題是應用類問題，主要考查了列方程，整數(shù)解，解一元二次不等式，因數(shù)，倍數(shù)，解本題的關鍵是根據(jù)題意列出方程，用x表示y之后處理成$\frac{x+1}{2}$-$\frac{9}{x-2}$是解本題的難點．