Question

如圖，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分別是AB，BC邊上的中點．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，在AC上找一點P，使得MP+NP最短．（不用寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若AC邊上的高為1，求MP+NP的最短長度．

Answer 1

解：（1）如圖1所示，點P即為所求．

（2）如圖2所示，連接AM′，MP，BP
∵點M′和點M關(guān)于AC對稱
∴MP=M′P，∠MPA=∠M′PA
又∵PA=PA
∴△MPA≌△M′PA
∴∠BAC=∠M′AC，AM=AM′
又∵AB=BC
∴∠BAC=∠C
∴∠M′AC=∠C
又∵M(jìn)，N分別為AB，BC邊上的中點
∴AM=NC
即：AM′=NC
又∵∠APM′=∠CPN
∴△APM′≌△CPN
∴AP=PC
∴BP為AC邊上的高
又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30°
∴BP=AB=MB
又∵∠ABP=60°．
∴△BMP為等邊三角形
∴MP=BP=1
同理：NP=1
∴MP+NP的最短長度為2．
分析：（1）作點M關(guān)于AC的對稱點M′，連接M′C交AC于點P，則點P即為所求點；
（2）連接AM′，MP，BP，則點M’和點M關(guān)于AC對稱，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得出△MPA≌△M’PA，由全等三角形的性質(zhì)可判斷出△BMP為等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)即可解答．
點評：本題考查的是最短路線問題及全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．