Question

已知線段a，b，c組成了一個三角形．求證：

a

，

b

，

c

也能組成一個三角形．

Answer 1

分析：構(gòu)成三角形的三邊必須滿足：任意一邊大于另外兩邊之差，而小于兩邊之和，已知線段a，b，c組成了一個三角形，故有|b-c|＜a＜b+c等，圍繞這個不等式組進(jìn)行平方、開平方運(yùn)算即可．只證三種情況中的一種，其它同理可證．

解答：證明：由已知設(shè)|b-c|＜a＜b+c，
由a＜b+c，得（

a

）²＜b+c＜（

b

+

c

）²，
∴

a

＜

b

+

c

；
又∵|

b

-

c

|（

b

+

c

）=|b-c|＜a=（

a

）²，
∴|

b

-

c

|＜

( a )2

b + c

＜

( a )2

a

=

a

，
∴|

b

-

c

|＜

a

；
綜上，得|

b

-

c

|＜

a

＜

b

+

c

，
同理可得：|

a

-

b

|＜

c

＜

a

+

b

，
|

c

-

a

|＜

b

＜

c

+

a

；
∴

a

，

b

，

c

也能組成一個三角形．

點(diǎn)評：本題考查了二次根式中判斷三角形三邊關(guān)系中的運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知不等式構(gòu)造新的不等式，運(yùn)用平方或開平方的方法進(jìn)行證題．