Question

3．如圖，正方形ABCD內(nèi)部有若干個點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重疊）：

（1）填寫下表：

正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)的個數(shù)	1	2	3	4	…	n
分割成的三角形的個數(shù)	4	6			…

（2）前5個正方形分割的三角形的和40前n個正方形分割的三角形的和n²+3n，
（3）原正方形能否被分割成2 012個三角形？若能，求此時正方形ABCD內(nèi)部有多少個點(diǎn)？若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形特點(diǎn)找出正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)的個數(shù)與分割成的三角形的個數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律即可；
（2）將（1）中的規(guī)律寫出來即可；
（2）根據(jù)規(guī)律列出方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）有1個點(diǎn)時，內(nèi)部分割成4個三角形；
有2個點(diǎn)時，內(nèi)部分割成4+2=6個三角形；
有3個點(diǎn)時，內(nèi)部分割成4+2×2=8個三角形；
有4個點(diǎn)時，內(nèi)部分割成4+2×3=10個三角形；     …
以此類推，有n個點(diǎn)時，內(nèi)部分割成4+2×（n-1）=（2n+2）個三角形；

（2）前5個正方形分割的三角形的和40，前n個正方形分割的三角形的和為n²+3n，

（3）能．理由如下：由（1）知2n+2=2012，解得n=1005，
∴此時正方形ABCD內(nèi)部有1005點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查的是圖形的變化類問題，正確理解題意、根據(jù)圖形的特點(diǎn)正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．