Question

7．如圖，已知A（-2，0），以B（0，1）為圓心，OB長為半徑作⊙B，N是⊙B上一個動點，直線AN交y軸于M點，則△AOM面積的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{8}{3}$
• C． 4
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 當直線AN與⊙B相切時，△AOM面積的最大．設BM=x，由切割線定理表示出MN，可證明△BNM∽△AOM，根據(jù)相似三角形的性質可求得x，然后求得△AOM面積．

解答 解：當直線AN與⊙B相切時，△AOM面積的最大．
連接AB、BN，
在Rt△AOB和Rt△ANB中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=BN}\\{AB=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△AOB≌Rt△ANB，
∴AN=AO=2，
設BM=x，
∴MN²=（BM-1）（BM+1），
∴MN=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
∵∠AOM=∠BNM=90°，∠AMO=∠BMN，
∴△BNM∽△AOM，
∴$\frac{BN}{OA}$=$\frac{MN}{OM}$，
即$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-1}}{x+1}$，
解得x=$\frac{5}{3}$，
S_△AOM=$\frac{OA•OM}{2}$=$\frac{2×（\frac{5}{3}+1）}{2}$=$\frac{8}{3}$．
故選：B．

點評 本題是一個動點問題，考查了切線的性質和三角形面積的計算，解題的關鍵是確定當射線AN與⊙B相切時，△AOM面積的最大．