Question

5、傳說從前有一個虔誠的信徒，他是集市上的一個小販．每天他都要從家所在的點A出發(fā)，到集市點B，但是，到集市之前他必須先拐彎到圓形古堡朝拜阿波羅神像．古堡是座圣城，阿波羅像供奉在古堡的圓心點O，而周圍上的點都是供信徒朝拜的頂禮地點如圖．這個信徒想，我怎樣選擇朝拜點，才能使從家到朝拜點，然后再到集市的路程最短呢？

Answer 1

分析：在圓周上選一點P，過P作⊙O的切線MN，使得∠APK=∠BPK，即α=β．那么朝圣者沿A→P→B的路線去走，距離最短．

解答：證明：如圖，在圓周上除P點外再任選一點P′．
連接BP′與切線MN交于R，AR+BR＞AP+BP．
∵RP′+AP′＞AR．
∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB＞AR+BP＞AP+BP．
不過，用尺規(guī)作圖法求點P的位置至今沒有解決．
“古堡朝圣問題”屬于數(shù)學上“最短路線問題”，
解決它的方法是采用“等角原理”．

點評：本題考查了切線的性質，以及尺規(guī)作圖，綜合性較強，難度較大．