Question

【題目】將兩張完全相同的矩形紙片ABCD、FBED按如圖方式放置，BD為重合的對角線．重疊部分為四邊形DHBG，

（1）試判斷四邊形DHBG為何種特殊的四邊形，并說明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四邊形DHBG的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形DHBG是菱形．理由如下：

∵四邊形ABCD、FBED是完全相同的矩形，

∴∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB．

在△DAB和△DEB中， ，

∴△DAB≌△DEB（SAS），

∴∠ABD=∠EBD．

∵AB∥CD，DF∥BE，

∴四邊形DHBG是平行四邊形，∠HDB=∠EBD，

∴∠HDB=∠HBD，

∴DH=BH，

∴DHBG是菱形．

（2）解：由（1），設(shè)DH=BH=x，則AH=8﹣x，

在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2，即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，即BH=5，

∴菱形DHBG的面積為HBAD=5×4=20．

【解析】（1）四邊形DHBG是菱形．理由如下：根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB．進而利用SAS判斷出△DAB≌△DEB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABD=∠EBD，然后判斷出四邊形DHBG是平行四邊形，∠HDB=∠EBD，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠HDB=∠HBD，從而知道DH=BH，進而得出結(jié)論；
（2）由（1），設(shè)DH=BH=x，則AH=8﹣x，在Rt△ADH中，由勾股定理得出關(guān)于x的方程，求解即可，然后根據(jù)菱形面積公式算出面積。
【考點精析】掌握勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．