Question

已知⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)T，經(jīng)過點(diǎn)T的任一直線分別與⊙O₁、⊙O₂交于點(diǎn)A、B，
（1）若⊙O₁、⊙O₂是等圓（如圖1），求證：AT=BT；
（2）若⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為R、r（如圖2），試寫出線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接O₁O₂，如圖1所示，根據(jù)兩圓外切時(shí)，兩圓心連線過切點(diǎn)，得到O₁O₂過T點(diǎn)，由垂直得到一對(duì)直角相等，再由對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△O₁CT與△O₂DT，由相似得比例，又兩圓為等圓，半徑相等可得出，可得出CT=DT，又O₁C⊥AT，利用垂徑定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代換可得出AT=BT，得證；
（2）線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系是=，理由為：連接O₁O₂，如圖2所示，根據(jù)兩圓外切時(shí)，兩圓心連線過切點(diǎn)，得到O₁O₂過T點(diǎn)，由垂直得到一對(duì)直角相等，再由對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△O₁CT與△O₂DT，由相似得比例，將O₁T=R，O₂T=r代入，得到CT與DT的比值為R：r，又O₁C⊥AT，利用垂徑定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代換可得出AT與BT的比值為R：r．
解答：證明：（1）連接O₁O₂，如圖1所示，
∵⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)T，
∴點(diǎn)T在O₁O₂上，
過O₁、O₂分別作O₁C⊥AT、O₂D⊥BT，垂足為C、D，
∴∠O₁CT=∠O₂DT=90°，又∠O₁TC=∠O₂TD，
∴△O₁CT∽△O₂DT，
∴=，
∵⊙O₁、⊙O₂是等圓，
∴O₁T=O₂T，
∴==1，
∴CT=DT，
在⊙O₁中，∵O₁C⊥AB，
∴AC=CT=AT，
同理BD=DT=BT，
∴AT=BT，即AT=BT；

（2）線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系是=，理由為：
證明：（1）連接O₁O₂，如圖2所示，
∵⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)T，
∴點(diǎn)T在O₁O₂上，
過O₁、O₂分別作O₁C⊥AT、O₂D⊥BT，垂足為C、D，
∴∠O₁CT=∠O₂DT=90°，又∠O₁TC=∠O₂TD，
∴△O₁CT∽△O₂DT，
∴=，
∵O₁T=R，O₂T=r，
∴==，
在⊙O₁中，∵O₁C⊥AB，
∴AC=CT=AT，
同理BD=DT=BT，
∴===．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合性題，涉及的知識(shí)有：兩圓相切的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理，利用了等量代換的思想，在探討此類題型時(shí)注意各問之間的聯(lián)系與區(qū)別．