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如圖,AB是⊙O1與⊙O2的公共弦,O1在⊙O2上,BD,O1C分別是⊙O1與⊙O2的直徑,CA與BD精英家教網的延長線交于E點,AB與O1C相交于M點.
(1)求證:EA是⊙O1的切線;
(2)連接AD,求證:AD∥O1C;
(3)若DE=1,設⊙O1與⊙O2的半徑分別為r,R,且
r
R
=
1
2
,求r的長.
分析:(1)連接O1A,根據圓周角的性質,易得O1A⊥AE;故AE是⊙O1的切線.
(2)根據圓周角定理,可得∠O1BA=∠O1CA;在⊙O1中,根據弦切角定理易得∠DAE=∠O1BA;變化可得AD∥O1C;
(3)根據題意有R=2r;在Rt△AO1C中根據切割線定理可得O1M=
1
4
r;再根據平行線的性質;易得
1
2
r=
4r
1+r
,代入數據即可得到答案.
解答:精英家教網(1)證明:連接O1A,(1分)
∵O1C是⊙O2的直徑,
∴∠O1AC=90°,(2分)
∴O1A⊥AE.
又∵點A在⊙O1上,
∴AE是⊙O1的切線.(3分)

(2)證明:在⊙O2中,∠O1BA與∠O1CA都是
O1A
上的圓周角,
∴∠O1BA=∠O1CA.(4分)
在⊙O1中,由弦切角定理,得∠DAE=∠O1BA,(5分)
∴∠O1CA=∠DAE.(6分)
∴AD∥O1C.(7分)

(3)解:∵
r
R
=
1
2
,R=2r,
在Rt△AO1C中,O1A2=O1M•O1C,r2=O1M•2R=O1M•4r,
即O1M=
1
4
r.(8分)
∵在Rt△BAD中,O1M∥AD,
O1M
AD
=
BO1
BD

1
4
r
AD
=
r
2r
AD=
1
2
r
.①
∵在△EO1C中,AD∥O1C,
ED
EO1
=
AD
O1C
,
1
1+r
=
AD
4r

AD=
4r
1+r
;②(9分)
由①和②得
1
2
r=
4r
1+r
,解之,得r=7.(10分)

(3)解法二:∵∠DBA=∠O1CA,∠DAB=∠O1AC=90°,
∴△DBA∽△O1CA.
又∵
r
R
=
1
2
,
DA
O1A
=
BD
O1C
=
2r
2R
=
1
2
.(8分)
設DA=x,
∴O1D=O1A=2x,O1C=8x.
∵DA∥O1C,ED=1,EO1=1+2x,
ED
EO1
=
DA
O1C
,
1
1+2x
=
x
8x
,(9分)
解之,得x=
7
2

∴r=2x=7.(10分)
點評:本題考查常見的幾何題型,包括切線的判定、線線平行的證明及線段長度的求法,要求學生掌握常見的解題方法,并能結合圖形選擇簡單的方法解題.
練習冊系列答案
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(1)連接DM、CE,請在圖中(不添加別的“點”和“線”)找出與△DFM相似的所有三角形,并選擇其中一個三角形,證明它與△DFM相似;
(2)設CD=12,CB=5,DF=4,AF=3FM,求EF的長.

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(1)連接DM、CE,請在圖中(不添加別的“點”和“線”)找出與△DFM相似的所有三角形,并選擇其中一個三角形,證明它與△DFM相似;
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(2)設CD=12,CB=5,DF=4,AF=3FM,求EF的長.

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(1)求證:EA是⊙O1的切線;
(2)連接AD,求證:AD∥O1C;
(3)若DE=1,設⊙O1與⊙O2的半徑分別為r,R,且,求r的長.

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