【題目】如圖,在△ABC中,高AD和BE交于點(diǎn)H,且∠1=∠2=22.5°,下列結(jié)論正確的有( �。�
①∠1=∠3;②BD+DH=AB;③2AH=BH;④若CD=,則BH=3;⑤若DF⊥BE于點(diǎn)F,則AE-DF=FH.
A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤
【答案】B
【解析】
①由直角三角形的性質(zhì)得出∠1=∠3,①正確;
②證出△ABD是等腰直角三角形,得出AD=BD,證明△BDH≌△ADC(ASA),得出DH=CD,BH=AC,得出BD+DH=AB,②正確;
③由BH=AC,當(dāng)AC=2AH時(shí),2AH=BH,③錯(cuò)誤;
④連接CH,由全等三角形的性質(zhì)得出DH=DC=,得出△CDH是等腰直角三角形,得出CH=
CD=2,∠CHD=45°,證出AH=CH=2,得出BD=AD=2+
,由勾股定理即可得出④錯(cuò)誤;
⑤作DK⊥AC于K,則DF=EK,證明△DFH≌△DKC(AAS),得出FH=KC,DF=DK,證出AB=CB,由等腰三角形的性質(zhì)得出AE=CE,即可得出AEFH=DF,⑤正確;即可得出結(jié)論.
解:①∵∠1=∠2=22.5°,
又∵AD是高,
∴AD⊥BC,
∴∠2+∠C=∠3+∠C,
∴∠1=∠3,①正確;
②∵∠1=∠2=22.5°,
∴∠ABD=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD,
∵AD⊥BC,
∴∠BDH=∠ADC=90°,
在△BDH和△ADC中,
∴△BDH≌△ADC(ASA),
∴DH=CD,BH=AC,
∵AB=BC,
∴BD+DH=AB,②正確;
③∵BH=AC,當(dāng)AC=2AH時(shí),2AH=BH,③錯(cuò)誤;
④連接CH,如圖1所示:
∵△BDH≌△ADC,
∴DH=DC=,
∴△CDH是等腰直角三角形,
∴CH=CD=2,∠CHD=45°,
∵∠3=∠2=22.5°,
∴∠HCA=22.5°=∠3,
∴AH=CH=2,
∴BD=AD=2+,
∴BH2=BD2+DH2=(2+)2+(
)2≠9,
∴BH≠3,④錯(cuò)誤;
⑤作DK⊥AC于K,如圖2所示:
則DF=EK,∠DKC=90°,∠C+∠CDK=∠C+∠3,
∴∠CDK=∠3,
∵BE⊥AC,DF⊥BE,
∴DF∥AC,∠DFH=90°=∠DKC,
∴∠FDH=∠CDK,
在△DFH和△DKC中,
,
∴△DFH≌△DKC(AAS),
∴FH=KC,DF=DK,
∵∠1=∠2,BE⊥AC,
∴∠BAC=∠BCA,
∴AB=CB,
∴AE=CE,
∵CE=KC+EK,DF=EK,
∴AE=FH+DF,
∴AEFH=DF,⑤正確.
故選:B.
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