Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（5，0），菱形OABC的頂點B，C在第一象限，tan∠AOC=，將菱形繞點A按順時針方向旋轉角α（0°<α<∠AOC）得到菱形FADE（點O的對應點為點F），EF與OC交于點G，連結AG。

（1）求點B的坐標；

（2）當OG=4時，求AG的長；

（3）求證：GA平分∠OGE；

（4）連結BD并延長交軸于點P，當點P的坐標為（12，0）時，求點G的坐標。

Answer 1

【答案】(1)(8,4);(2)；（3）（）.

【解析】

試題分析：(1)如圖1，過點B作BH⊥x軸于點H,由已知可得∠BAH=∠COA,在Rt△ABH中，tan∠BAH=tan∠AOC=，AB=5，可求得BH=4，AH=3，所以OH=8，即可得點B的坐標為（8,4）；（2）如圖1，過點A作AM⊥OC于點M,在Rt△AOM中，tan∠AOC=，OA=5，可求得AM=4，OA=3，所以GM=1，再由勾股定理即可求得AG=；(3)如圖1，過點A作AN⊥EF軸于點N,易證△AOM≌△AFN,根據(jù)全等三角形的性質可得AM=AN,再由角平分線的判定可得GA平分∠OGE；（4）如圖2，過點G作GQ⊥x軸于點Q,先證△GOA∽△BAP,根據(jù)相似三角形的性質求得GQ=,再由銳角三角函數(shù)求得OQ=，即可得點G的坐標為（）.

試題解析：

（1）如圖1，過點B作BH⊥x軸于點H，

∵四邊形OABC為菱形，∴OC∥AB，

∴∠BAH=∠COA．

∵tan∠AOC=，

∴tan∠BAH=．

又∵在直角△BAH中，AB=5，

∴BH=3AB=4，AH=AB=3，

∴OH=OA+AH=5+3=8，

∴點B的坐標為（8，4）；

（2）如圖1，過點A作AM⊥OC于點M，

在直角△AOM中，∵tan∠AOC=，OA=5，

∴AM=OA=4，OM=OA=3，

∵OG=4，

∴GM=OG-OM=4-3=1，

∴AG=；

（3）如圖1，過點A作AN⊥EF于點N，

∵在△AOM與△AFN中，

∠AOM＝∠F,OA＝FA,∠AMO＝∠ANF＝90°，

∴△AOM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN，

∴GA平分∠OGE．

（4）如圖2，過點G作GQ⊥x軸于點Q，

由旋轉可知：∠OAF=∠BAD=α．

∵AB=AD，

∴∠ABP=，

∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，

∴∠OGA=∠EGA=1，

∴∠OGA=ABP，

又∵∠GOA=∠BAP，

∴△GOA∽△BAP，

∴，

∴GQ=×4=．

∵tan∠AOC=，

∴OQ=×=，

∴G（,）．