Question

如圖，已知矩形ABCO，點A為（0，8），點C在x軸正半軸上，直徑為10的⊙I經過點A和點O，交x軸正半軸于點P，交AB于點D．
（1）求證：PD∥BC；
（2）當直線BC與⊙I相切時，求點C的坐標．

Answer 1

（1）證明：∵∠AOP=90°，
∴AP是⊙I的直徑，
∴∠ADP=90°（2分）
又∵四邊形ABCO是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ADP=∠ABC，
∴DP∥BC（垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）；

（2）解：過I點作直線EF⊥BC于E，交y軸于F．
由勾股定理得，OP=；
∵四邊形ABCO是矩形，
∴BC∥AO，
∴IF⊥AO；
∵AO是⊙I的弦，
∴AF=FO，
∴IF==3；
∵BC是⊙I的切線，
∴IE=IA=5，
∴OC=EF=8，
∴點C的坐標是（8，0）．
分析：（1）根據(jù)直角∠AOP=90°所對的弦是直徑知AP是⊙I的直徑，再由直徑所對的圓周角是直角知，∠ADP=90°；然后由矩形ABCO的四個角都是直角得到∠ABC=90°；最后根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行來證明DP∥BC；
（2）過I點作直線EF⊥BC于E，交y軸于F．在直角三角形APO中根據(jù)勾股定理求得OP=6；再由（1）的結論及矩形ABCO的對邊相互平行的性質知IF⊥AO，根據(jù)垂徑定理知AF=FO，從而求得IF=3；最后根據(jù)切線的性質求得⊙I的直徑、即OC=8，所以點C的坐標是（8，0）．
點評：本題綜合考查了圓的切線性質、勾股定理、矩形的性質、圓周角定理等知識點．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．