Question

如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x 軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.

⑴求二次函數(shù)的解析式；（4分）

⑵在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（5分）

⑶在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（5分）

Answer 1

⑴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-h)²+k

∵頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，且過(guò)點(diǎn)(0，)

∴y=a(x-4)²+k         ………………①

又∵對(duì)稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6

∴A(1，0)，B(7，0)

∴0=9a+k  ………………②

由①②解得a=，k=

∴二次函數(shù)的解析式為：y=(x-4)²－

⑵∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對(duì)稱

∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值

∴DB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P

設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)M

∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO

∴△BPM∽△BDO

∴  ∴

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，).

⑶由⑴知點(diǎn)C(4，)，

又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=

∴∠ACM=60^o，∵AC=BC，∴∠ACB=120^o

①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過(guò)Q作QN⊥x軸于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有

BQ=6，∠ABQ=120^o，則∠QBN=60^o

∴QN=3，BN=3，ON=10

此時(shí)點(diǎn)Q(10，)

如果AB=AQ，由對(duì)稱性知Q(-2，)

②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，△QAB就是△ACB，

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4，)，

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(10，)與(-2，)都在拋物線上

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q，使△QAB∽△ABC

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(10，)或(-2，)或(4，)．