如圖,已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在直線y=2x上,∠PAO=45度.精英家教網(wǎng)
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過P、O、A三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并寫出它的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)M;
(3)如果將第(2)小題中的二次函數(shù)的圖象向上或向下平移,使它的頂點(diǎn)落在直線y=2x上的點(diǎn)Q處,求△APM與△APQ的面積之比.
分析:(1)根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,2x),又由∠PAO=45°,PH⊥OA,可得PH=AH=2x,又由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),即可求得x的值,則可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)利用待定系數(shù)法將點(diǎn)P,O,A的坐標(biāo)代入解析式即可得到方程組,解方程組即可求得解析式;
(3)根據(jù)圖形求得:△APO、△AQO與四邊形AMPO的面積,即可求得△APM與△APQ的面積,則問題得解.
解答:解:(1)過點(diǎn)P作PH⊥OA,垂足為點(diǎn)H.
∵點(diǎn)P在直線y=2x上,
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,2x).
∵∠PAO=45°,PH⊥OA,
∴∠PAO=∠APH=45°.
∴PH=AH=2x.
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),
∴x+2x=3.
∴x=1.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).

(2)設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).
∵圖象經(jīng)過P(1,2)、O(0,0)、A(3,0)三點(diǎn),
2=a+b+c 
0=c 
0=9a+3b+c 
,
解得
a=-1 
b=3 
c=0 
,
∴所求的二次函數(shù)解析式為y=-x2+3x.
頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
3
2
9
4
).

(3)根據(jù)題意,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
3
2
,3).
∵S△AQO=
1
2
×3×3=
9
2

S△APO=
1
2
×3×2=3,
S四邊形AMPO=
1
2
×1×2+
1
2
×(2+
9
4
)×
1
2
+
1
2
×
3
2
×
9
4
=
15
4
精英家教網(wǎng)
∴S△APM=
15
4
-3=
3
4
,S△APQ=
9
2
-3=
3
2

∴△APM與△APQ的面積之比為
1
2

另解:根據(jù)題意,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
3
2
,3).
設(shè)圖象的對(duì)稱軸與直線AP相交于點(diǎn)N,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(
3
2
3
2
).
∴MN=
9
4
-
3
2
=
3
4
,QN=3-
3
2
=
3
2

∴MN=
1
2
QN,
S△PMN
S△PQN
=
1
2
,
S△AMN
S△AQN
=
1
2

∴△APM與△APQ的面積之比為
1
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法以及三角形面積的求法等知識(shí)點(diǎn).主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過P、O、A三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并寫出它的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)M;
(3)如果將第(2)小題中的二次函數(shù)的圖象向上或向下平移,使它的頂點(diǎn)落在直線y=2x上的點(diǎn)Q處,求△APM與△APQ的面積之比.

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(3)如果將第(2)小題中的二次函數(shù)的圖像向上或向下平移,使它的頂點(diǎn)落在直線y=2x上的點(diǎn)Q處,求△APM與△APQ的面積之比.

 


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