Question

【題目】如圖，以G(0，1)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，則弦AB的長(zhǎng)度為________；點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，線段FG的長(zhǎng)度的最小值為________．

Answer 1

【答案】2 ﹣1

【解析】

連接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂徑定理得到O為AB的中點(diǎn)，由G的坐標(biāo)確定出OG的長(zhǎng)，在直角三角形AOG中，由AG與OG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AO的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，由CG+GO求出OC的長(zhǎng)，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半徑，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，線段FG的長(zhǎng)度有最小值，根據(jù)求解即可.

連接AC，AG，

∵GO⊥AB,

∴O為AB的中點(diǎn),即

∵G(0,1)，即OG=1，

∴在Rt△AOG中,根據(jù)勾股定理得：

∴

又CO=CG+GO=2+1=3，

∴在Rt△AOC中,根據(jù)勾股定理得：

∵CF⊥AE，

∴△ACF始終是直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半圓，

AC的中點(diǎn)為

當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，線段FG的長(zhǎng)度有最小值，

故答案為：(1). 2 (2). ﹣1