Question

【題目】如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．

（1）求證：△PMN是等邊三角形；

（2）若AB＝18cm，求CM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B＝∠C，進(jìn)而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根據(jù)平角的意義即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可證得△PMN是等邊三角形；

（2）易證得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，從而求得BM+PB＝AB＝12cm，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的長，進(jìn)而得出CM的長．

（1）證明：∵△ABC是正三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C，

∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，

∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，

∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，

∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，

∴△PMN是等邊三角形；

（2）解：∵△PMN是等邊三角形，

∴PM＝MN＝NP，

在△PBM、△MCN和△NAP中，

，

∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），

∴PA＝BM＝CN，PB＝CM＝AN，

∴BM+PB＝AB＝18cm，

∵△ABC是正三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∴2PB＝BM，

∴2PB+PB＝18cm，

∴PB＝6cm，

∴CM＝6cm．