Question

已知，如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx+3與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB=4．
（1）直接寫出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)及b的值；
（2）過射線CB上一點(diǎn)N，作MN∥OC分別交拋物線、x軸于M、T兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)0＜t＜4時，求線段MN的最大值；
②以點(diǎn)N為圓心，NM為半徑作⊙N，當(dāng)點(diǎn)B恰好在⊙N上時，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=

1

2

x²+bx+3直接得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由OB=4，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式即可得出b的值，
（2）①首先求出直線CB的解析式，進(jìn)而得出MN=（-

3

4

t+3）-（

1

2

t²-

11

4

t+3）=-

1

2

（t-2）²+2，得出最值即可；
②根據(jù)當(dāng)0＜t＜4時，由①得：MN=-

1

2

t²+2t，以及當(dāng)t＞4時，點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，MN=

1

2

t²-2t分別求出t的值即可．

解答：解：（1）點(diǎn)B（4，0），C（0，3），b=-

11

4

，

（2）①如圖所示，設(shè)過點(diǎn)B（4，0），C（0，3）的直線CB的解析式為：y=kx+m，（k≠0），
∴

4k+m=0 m=3

，
解得：

k=- 3 4 m=3

，
∴直線CB的解析式為：y=-

3

4

x+3，
∵M(jìn)N∥OC，
∴依據(jù)題意得出：N（t，-

3

4

t+3），則M（t，

1

2

t²-

11

4

t+3），
∵當(dāng)0＜t＜4時，點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方，
∴MN=（-

3

4

t+3）-（

1

2

t²-

11

4

t+3），
=-

1

2

t²+2t，
=-

1

2

（t-2）²+2，
∴當(dāng)t=2時，MN有最大值2；

②依據(jù)題意得出：
當(dāng)MN=BN時，點(diǎn)B恰好在⊙N上，
由于t=0，（點(diǎn)M，N重合），
t=4（點(diǎn)M，N和B重合）均不符合題意，故舍去，
a）當(dāng)0＜t＜4時，如圖，由①得：MN=-

1

2

t²+2t，
又∵M(jìn)N∥OC．OC⊥OB，
∴MN⊥OB，垂足為T（t，0），
∴cos∠NBT=

TB

NB

=

OB

BC

=

4

5

，（I）
即

TB

NB

=

4

5

，
此時點(diǎn)N在點(diǎn)T的上方，點(diǎn)T在點(diǎn)B的左邊．
∴TB=4-t，
代入（I）式得：
NB=

5

4

（4-t），
由

5

4

（4-t）=-

1

2

t²+2t，
整理可得：2t²-13t+20=0，
解得：t₁=4（不合題意舍去），
t₂=

5

2

，
故此時點(diǎn)M的坐標(biāo)是（

5

2

，-

3

4

）；
b）當(dāng)t＞4時，如圖所示，點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，MN=

1

2

t²-2t，
此時點(diǎn)N在點(diǎn)T的下方，點(diǎn)T在點(diǎn)B的右邊，
∴TB=t-4，
代入（I）式，可得：NB=

5

4

（t-4），
由

5

4

（t-4）=

1

2

t²-2t，
整理可得：2t²-13t+20=0，
解得：t₁=4（不合題意舍去），
t₂=

5

2

（不合題意舍去）．
綜上所述：符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

5

2

，-

3

4

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程的解法，根據(jù)已知得出

5

4

（4-t）=-

1

2

t²+2t或

5

4

（t-4）=

1

2

t²-2t是解題關(guān)鍵．