Question

如圖，在等腰梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=60°BC=2，OA=4，且與x軸重合．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B的拋物線解析式，并判斷點(diǎn)C是否在拋物線上；
（3）在拋物線的OCB段，是否存在一點(diǎn)P（不與O、B重合），使得四邊形OABP的面積最大？若存在，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）A點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)OA的長(zhǎng)獲得；過(guò)B作BM⊥OA于M，利用等腰梯形的對(duì)稱(chēng)性可求得AM的長(zhǎng)，已知∠COA=∠BAO=60°，即可求得BM的長(zhǎng)，從而得到B、C的坐標(biāo)．
（2）已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（3）連接OB，易求得直線OB的解析式；過(guò)P作直線PD⊥x軸，交OB于D，設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線OB的解析式，可表示出P、D的縱坐標(biāo)，即可得到PD的長(zhǎng)；由于四邊形OPBA中，△ABO的面積是定值，所以當(dāng)四邊形OPBA的面積最大時(shí)，△OBP的面積最大，此時(shí)PD的值最大，可根據(jù)得到的關(guān)于PD和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，求得PD的最大值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)B作BM⊥OA于M，則AM=1；
在Rt△BMA中，AM=1，∠BAM=∠COA=60°，
∴BM=

3

AM=

3

，OM=4-AM=3；
∴B（3，

3

），
同理得C（1，

3

）；
故：A（4，0），B(3，

3

)，C(1，

3

)．

（2）依題意設(shè)y=ax（x-4），又B(3，

3

)在該函數(shù)圖象上，
∴-3a=

3

，
解得：a=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x2+

4 3

3

x；
當(dāng)x=1時(shí)，y=

3

，
故點(diǎn)C(1，

3

)在該函數(shù)圖象上．

（3）如圖，
連接OB，在拋物線上取點(diǎn)P，過(guò)P作PD⊥x軸，交OB于D，連接OP、BP；
則過(guò)OB的直線的解析式為y=

3

3

x，
∵S_△OAB為定值，
∴使S_△OPB最大，則四邊形OPBA的面積最大；
∵PD=yP-yD=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

3

x=-

3

3

x2+

3

x=-

3

3

(x-

3

2

)2+

3 3

4

，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，PD最大，
將x=

3

2

代入y=-

3

3

x2+

4 3

3

x中，
得y=

5 3

4

；
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P(

3

2

，

5 3

4

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義以及圖形面積的求法等重要知識(shí)；類(lèi)似于（3）題求面積最大（�。┲祮�(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解．