【題目】根據(jù)要求回答問題

(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b.
當(dāng)點A位于時,線段AC的長取得最大值,且最大值為(用含a,b的式子表示)
(2)應(yīng)用:點A為線段BC外一動點,且BC=3,AB=1,如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.
①請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;
②直接寫出線段BE長的最大值.

(3)拓展:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標(biāo).

【答案】
(1)CB的延長線上;a+b
(2)

解:①CD=BE,

理由:∵△ABD與△ACE是等邊三角形,

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

即∠CAD=∠EAB,

在△CAD與△EAB中,

∴△CAD≌△EAB,

∴CD=BE;

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,

由(1)知,當(dāng)線段CD的長取得最大值時,點D在CB的延長線上,

∴最大值為BD+BC=AB+BC=4


(3)

解:

連接BM,將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,

則△APN是等腰直角三角形,

∴PN=PA=2,BN=AM,

∵A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(5,0),

∴OA=2,OB=5,

∴AB=3,

∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,

∴當(dāng)N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,

最大值=AB+AN,

∵AN= AP=2 ,

∴最大值為2 +3;

如圖2,過P作PE⊥x軸于E,

∵△APN是等腰直角三角形,

∴PE=AE=

∴OE=BO﹣ ﹣3=2﹣ ,

∴P(2﹣ ,


【解析】解:(1)
∵點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b,
∴當(dāng)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b,
所以答案是:CB的延長線上,a+b;
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識,掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°.

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2)點的坐標(biāo)為 ,點的坐標(biāo)為 ;

3)點Pa,a-2)與點Q關(guān)y軸對稱,若PQ=8,則點P的坐標(biāo)為 ;

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