【題目】如圖,已知∠ABC=90°,D是直線AB上的點,AD=BC.

(1)如圖1,過點A作AF⊥AB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷△CDF的形狀并證明;
(2)如圖2,E是直線BC上一點,且CE=BD,直線AE、CD相交于點P,∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎?若是,請求出它的度數(shù);若不是,請說明理由.

【答案】
(1)解:△CDF是等腰直角三角形,理由如下:

∵AF⊥AD,∠ABC=90°,

∴∠FAD=∠DBC,

在△FAD與△DBC中,

,

∴△FAD≌△DBC(SAS),

∴FD=DC,

∴△CDF是等腰三角形,

∵△FAD≌△DBC,

∴∠FDA=∠DCB,

∵∠BDC+∠DCB=90°,

∴∠BDC+∠FDA=90°,

∴△CDF是等腰直角三角形;


(2)解:作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,如圖,

∵AF⊥AD,∠ABC=90°,

∴∠FAD=∠DBC,

在△FAD與△DBC中,

∴△FAD≌△DBC(SAS),

∴FD=DC,

∴△CDF是等腰三角形,

∵△FAD≌△DBC,

∴∠FDA=∠DCB,

∵∠BDC+∠DCB=90°,

∴∠BDC+∠FDA=90°,

∴△CDF是等腰直角三角形,

∴∠FCD=45°,

∵AF∥CE,且AF=CE,

∴四邊形AFCE是平行四邊形,

∴AE∥CF,

∴∠APD=∠FCD=45°.


【解析】(1)利用SAS證出△FAD≌△DBC,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC,∠FDA=∠DCB,故△CDF是等腰直角三角形;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF,CF,如圖,利用SAS證明△FAD≌△DBC,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC,FDC=90°.故△CDF是等腰直角三角形,從而推出∠FCD=45°,由AF∥CE,且AF=CE,推出四邊形AFCE是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE∥CF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出結(jié)論。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的判定的相關(guān)知識,掌握如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱:等角對等邊).這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等,以及對平行四邊形的判定與性質(zhì)的理解,了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】延慶區(qū)由于生態(tài)質(zhì)量良好、自然資源豐富,成為北京的生態(tài)涵養(yǎng)區(qū),是其生態(tài)屏障和水源保護(hù)地.為降低空氣污染,919公交公司決定全部更換節(jié)能環(huán)保的燃?xì)夤卉嚕媱澷徺IA型和B型兩種公交車共10輛,其中每臺的價格,年載客量如表:

A型

B型

價格(萬元/臺)

a

b

年載客量(萬人/年)

60

100

若購買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需400萬元;若購買A型公交車2輛,B型公交車1輛,共需350萬元.
(1)求a,b的值;
(2)如果該公司購買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元,且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次.請你設(shè)計一個方案,使得購車總費(fèi)用最少.

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1)直接寫出點B、點D的坐標(biāo).

2)當(dāng)t=6秒時,寫出P點的坐標(biāo).

3)當(dāng)點P運(yùn)動到與x軸的距離為個單位時直接寫出t的值.

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(1)如圖①,當(dāng)∠BAC=DAE=90°時,試判斷線段BDCE有什么關(guān)系,并給出證明:

(2)(1)的條件下,BC=4.試判斷四邊形ADCE的面積是否發(fā)生變化,若不變,求出四邊形ADCE的面積;若變化,請說明理由;

(3)如圖②,若∠BAC=DAE=120°,BC=4,試探索△DCE的面積是否存在最大值,若存在,求出此時∠DEC的度數(shù),若不存在,請說明理由。

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