Question

如圖，⊙C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別交x軸正半軸、y軸正半軸于點(diǎn)B、A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4

3

，0），點(diǎn)M在⊙C上，并且∠BMO=120度．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點(diǎn)P是⊙C上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的切線PN，若∠NPB=30°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是⊙C上任意一點(diǎn)，以B為圓心，BD為半徑作⊙B，并且BD的長(zhǎng)為正整數(shù)．
①問這樣的圓有幾個(gè)？它們與⊙C有怎樣的位置關(guān)系？
②在這些圓中，是否存在與⊙C所交的�。ㄖ浮袯上的一條弧）為90°的弧，若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AB．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)60°的直角三角形，從而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）首先根據(jù)切線的性質(zhì)和角的度數(shù)能夠正確分析出點(diǎn)P的位置，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①根據(jù)兩圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行分析；
②根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)，只需分析等腰直角三角形的邊的長(zhǎng)是否為整數(shù)．

解答：解：（1）連接AB，
∵四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形
∴∠BAO=180°-∠BMO=60°
∵OB=4

3

∴OA=4，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（O，4）
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b
把（0，4）和（4

3

，0），代入，得：
4

3

k+4=0，k=-

3

3

∴直線AB解析式為-

3 x

3

+4；

（2）點(diǎn)P有兩種情況：
第一種情況：作CH⊥OB，垂足為H，交弧OMB于P₁，P₁H=2，
點(diǎn)P₁坐標(biāo)為（2

3

，-2），
第二種情況：作直徑OP₂，過點(diǎn)P₂作0C的切線P₂N₂，連接P₂B，
點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（4

3

，4），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，-2）或（4

3

，4）；

（3）①這樣的圓有8個(gè)，它們與⊙C的位置關(guān)系是相交，內(nèi)切；
②不存在；
過點(diǎn)C作0C直徑D₁D₂，使D_lD₂⊥AB，
以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑作圓，
則0B上的劣弧D₁D₂的度數(shù)為90°，
連接BD₁、BD₂，則△BD₁D₂是等腰直角三角形，
BD₁=4

2

，
不是正整數(shù)，∴不存在．

點(diǎn)評(píng)：此題要綜合運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和特殊直角三角形的性質(zhì)；
考查了兩圓的位置關(guān)系以及弧的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)．