【題目】如圖,矩形中,為的中點,過點的直線分別交,于,兩點,點,在對角線上,,連接、、、.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)若,,,求的長.
【答案】(1)見解析;(2)5
【解析】
(1)根據(jù)矩形性質得對邊平行,再得內(nèi)錯角相等,證明△CFO≌△AEO,得EO=FO,進而根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即證;(2)根據(jù)定義證明四邊形EGFH是菱形,其性質為對角線互相垂直,通過證△AOE∽△ABC,得對應邊成比例列式計算.
解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴CD∥AB,
∴∠DCA=∠CAB,∠CFE=∠AEF,
∵O為AC的中點,
∴CO=AO,
∴△CFO≌△AEO,
∴EO=FO,
∵CO=AO,AG=CH,
∴OH=OG,
∵EO=FO,OH=OG,
∴四邊形是平行四邊形.
(2)∵EG=EH,
∴平行四邊形EGFH是菱形,
∴EF⊥AC,
∴∠AOE=90°
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,BC=AD=4
∵AB=8,
∴由勾股定理得,AC= ,
∴AO=.
∵∠AOE=∠B=90°, ∠OAE=∠BAC,
∴△AOE∽△ABC,
∴ ,即
∴AE=5.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,⊙O是△ABC外接圓,點D是圓上一點,點D、B分別在AC兩側,且BD=BC,連接AD、BD、OD、CD,延長CB到點P,使∠APB=∠DCB.
(1)求證:AP為⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為1,當△OED是直角三角形時,求△ABC的面積;
(3)若△BOE、△DOE、△AED的面積分別為a、b、c,試探究a、b、c之間的等量關系式,并說明理由.
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【題目】如圖,用長為6m的鋁合金條制成“日”字形窗框,若窗框的寬為xm,窗戶的透光面積為ym2(鋁合金條的寬度不計).
(1)求出y與x的函數(shù)關系式;
(2)如何安排窗框的長和寬,才能使得窗戶的透光面積最大?并求出此時的最大面積.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,BE⊥AC,垂足為E,AD與BE相交于點F,連接ED.
(1)求證:△AEF∽△BDF;
(2)若AE=4,BD=8,EF+DF=9,求DE的長.
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【題目】如圖為二次函數(shù)圖象,直線與拋物線交于兩點,兩點橫坐標分別為根據(jù)函數(shù)圖象信息有下列結論:
①;
②若對于的任意值都有,則;
③;
④;
⑤當為定值時若變大,則線段變長
其中,正確的結論有__________(寫出所有正確結論的番號)
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【題目】已知二次函數(shù)。
(1)該二次函數(shù)圖象的對稱軸是_____________________;
(2)若該二次函數(shù)的圖象開口向上,當時,函數(shù)圖象的最高點為,最低點為,點的縱坐標為11,求點和點的坐標;
(3)對于該二次函數(shù)圖象上的兩點,設,當時,均有,請結合圖象,求出的取值范圍.
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【題目】根據(jù)對徐州市相關的市場物價調(diào)研,預計進入夏季后的某一段時間,某批發(fā)市場內(nèi)的甲種蔬菜的銷售利潤y1(千元)與進貨量x(噸)之間的函數(shù)的圖象如圖①所示,乙種蔬菜的銷售利潤y2(千元)與進貨量x(噸)之間的函數(shù)的圖象如圖②所示.
(1)分別求出y1、y2與x之間的函數(shù)關系式;
(2)如果該市場準備進甲、乙兩種蔬菜共10噸,設乙種蔬菜的進貨量為t噸,寫出這兩種蔬菜所獲得的銷售利潤之和W(千元)與t(噸)之間的函數(shù)關系式,并求出這兩種蔬菜各進多少噸時 獲得的銷售利潤之和最大,最大利潤是多少?
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