Question

已知：如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，求使與四邊形ACDB面積相等的四邊形ACPB的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求△APD的面積．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸
交于A（-1，0）
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∵y=-（x²-2x）+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
答：拋物線的解析式是y=-x²+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4）．

（2）解：連接BC，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．
令y=0則-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△EBD=
∵
∴S_△BCD=3
∵點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，S_{四邊形ACDB}=S_{四邊形ACPB}，
∴S_△BCP=S_△BCD=3，
∴點(diǎn)P是過D且與直線BC平行的直線和拋物線的交點(diǎn)，
而直線BC的函數(shù)解析式為y=-x+3，
∴設(shè)直線DP的函數(shù)解析式為y=-x+b，過點(diǎn)D（1，4），
∴-1+b=4，b=5，
∴直線DP的函數(shù)解析式為y=-x+5，
把y=-x+5代入y=-x²+2x+3中，解得x₁=1，x₂=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），
答：與四邊形ACDB面積相等的四邊形ACPB的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3）．

（3）解：∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于DE對稱，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于DE對稱，
∴△APD≌△BCD，
∴S_△APD=S_△BCD=3，
答：△APD的面積是3．
分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A（-1，0），代入即可求出a、c的值，即得到解析式，化成頂點(diǎn)式就能求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，令y=0，求出B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和面積公式能求出四邊形ACDB和△BCD的面積，根據(jù)B、C的坐標(biāo)能求出直線BC，設(shè)直線DP的函數(shù)解析式為y=-x+b，把點(diǎn)D（1，4）代入即可求出直線DP的函數(shù)解析式，求出y=-x+5和y=-x²+2x+3組成的方程組的解即可；
（3）根據(jù)對稱得到△APD≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案．
點(diǎn)評：本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解二元一次方程組，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．