如圖,一條直線與反比例函數(shù)y=
kx
的圖象交于A(1,4)、B(4,n)兩點,與x軸交于D點,AC⊥x軸,垂足為C.
(1)如圖甲,①求反比例函數(shù)的解析式;②求n的值及D點坐標(biāo);
(2)如圖乙,若點E在線段AD上運動,連接CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F點.
①試說明△CDE∽△EAF;
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時,直接寫出F點坐標(biāo).
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分析:(1)①根據(jù)點A的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)的解析式為y=
4
x
;②再求出B點的坐標(biāo)B(4,1),即得n=1;利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,令一次函數(shù)的y=0,求得點D的坐標(biāo)D(5,0);
(2)①在本題中要證△CDE∽△EAF,只要證明出△CDE和△EAF的三個內(nèi)角分別對應(yīng)相等,即可得證;
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時,可寫出點F的坐標(biāo)F1(1,2);F2(1,4);F3(1,8-4
2
)
解答:解:(1)①∵點A(1,4)在反比例函數(shù)圖象上
∴k=4
即反比例函數(shù)關(guān)系式為y=
4
x
;
②∵點B(4,n)在反比例函數(shù)圖象上
∴n=1
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+b
∵點A(1,4)和B(4,1)在一次函數(shù)y=mx+b的圖象上
m+b=4
4m+b=1

解得
m=-1
b=5

∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5
令y=0,得x=5
∴D點坐標(biāo)為D(5,0);

(2)①證明:∵A(1,4),D(5,0),AC⊥x軸
∴C(1,0)
∴AC=CD=4,
即∠ADC=∠CAD=45°,
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°,
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°,
∴∠ECD=∠AEF,
△CDE和△EAF的兩角對應(yīng)相等,
∴△CDE∽△EAF.
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②當(dāng)CE=FE時,由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4,DE=AF=4﹙
2
-1),
∵A(1,4),
∴F點的縱坐標(biāo)=4-AF=4-4(
2
-1)=8-4
2

∴F﹙1,8-4
2

當(dāng)CE=CF時,由∠FEC=45°知∠ACE=90°,此時E與D重合,
∴F與A重合,
∴F(1,4)
當(dāng)CF=EF時,由∠FEC=45°知∠CFE=90°,顯然F為AC中點,
∴F(1,2)
當(dāng)△ECF為等腰三角形時,點F的坐標(biāo)為F1(1,2);F2(1,4);F3(1,8-4
2
)
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;同時考查了兩三角形相似的條件.
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(1)如圖甲,①求反比例函數(shù)的解析式;②求n的值及D點坐標(biāo);
(2)如圖乙,若點E在線段AD上運動,連接CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F點.
①試說明△CDE∽△EAF;
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時,請求出F點的坐標(biāo).

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(1)如圖甲,①求反比例函數(shù)的解析式;②求n的值及D點坐標(biāo);
(2)如圖乙,若點E在線段AD上運動,連結(jié)CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F點.試說明△CDE∽△EAF;

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