Question

如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4）、B（4，n）兩點，與x軸交于D點，AC⊥x軸，垂足為C．
（1）如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點坐標(biāo)；
（2）如圖乙，若點E在線段AD上運動，連接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點．
①試說明△CDE∽△EAF；
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時，直接寫出F點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據(jù)點A的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)的解析式為；②再求出B點的坐標(biāo)B（4，1），即得n=1；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，令一次函數(shù)的y=0，求得點D的坐標(biāo)D（5，0）；
（2）①在本題中要證△CDE∽△EAF，只要證明出△CDE和△EAF的三個內(nèi)角分別對應(yīng)相等，即可得證；
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時，可寫出點F的坐標(biāo)；
解答：解：（1）①∵點A（1，4）在反比例函數(shù)圖象上
∴k=4
即反比例函數(shù)關(guān)系式為y=；
②∵點B（4，n）在反比例函數(shù)圖象上
∴n=1
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+b
∵點A（1，4）和B（4，1）在一次函數(shù)y=mx+b的圖象上
∴
解得
∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D點坐標(biāo)為D（5，0）；

（2）①證明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x軸
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，
△CDE和△EAF的兩角對應(yīng)相等，
∴△CDE∽△EAF．

②當(dāng)CE=FE時，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=4﹙-1），
∵A（1，4），
∴F點的縱坐標(biāo)=4-AF=4-4（-1）=8-4
∴F﹙1，8-4﹚
當(dāng)CE=CF時，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此時E與D重合，
∴F與A重合，
∴F（1，4）
當(dāng)CF=EF時，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，顯然F為AC中點，
∴F（1，2）
當(dāng)△ECF為等腰三角形時，點F的坐標(biāo)為
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；同時考查了兩三角形相似的條件．