如圖,一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4)、B(4,n)兩點(diǎn),與x軸交于D點(diǎn),AC⊥x軸,垂足為C.
(1)如圖甲,①求反比例函數(shù)的解析式;②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖乙,若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng),連接CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F點(diǎn).
①試說明△CDE∽△EAF;
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí),直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】分析:(1)①根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)的解析式為;②再求出B點(diǎn)的坐標(biāo)B(4,1),即得n=1;利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,令一次函數(shù)的y=0,求得點(diǎn)D的坐標(biāo)D(5,0);
(2)①在本題中要證△CDE∽△EAF,只要證明出△CDE和△EAF的三個(gè)內(nèi)角分別對應(yīng)相等,即可得證;
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí),可寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)
解答:解:(1)①∵點(diǎn)A(1,4)在反比例函數(shù)圖象上
∴k=4
即反比例函數(shù)關(guān)系式為y=;
②∵點(diǎn)B(4,n)在反比例函數(shù)圖象上
∴n=1
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+b
∵點(diǎn)A(1,4)和B(4,1)在一次函數(shù)y=mx+b的圖象上

解得
∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5
令y=0,得x=5
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D(5,0);

(2)①證明:∵A(1,4),D(5,0),AC⊥x軸
∴C(1,0)
∴AC=CD=4,
即∠ADC=∠CAD=45°,
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°,
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°,
∴∠ECD=∠AEF,
△CDE和△EAF的兩角對應(yīng)相等,
∴△CDE∽△EAF.

②當(dāng)CE=FE時(shí),由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4,DE=AF=4﹙-1),
∵A(1,4),
∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)=4-AF=4-4(-1)=8-4
∴F﹙1,8-4
當(dāng)CE=CF時(shí),由∠FEC=45°知∠ACE=90°,此時(shí)E與D重合,
∴F與A重合,
∴F(1,4)
當(dāng)CF=EF時(shí),由∠FEC=45°知∠CFE=90°,顯然F為AC中點(diǎn),
∴F(1,2)
當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo)為
點(diǎn)評:本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;同時(shí)考查了兩三角形相似的條件.
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如圖,一條直線與反比例函數(shù)y=
kx
的圖象交于A(1,4)、B(4,n)兩點(diǎn),與x軸交于D點(diǎn),AC⊥x軸,垂足為C.
(1)如圖甲,①求反比例函數(shù)的解析式;②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖乙,若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng),連接CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F點(diǎn).
①試說明△CDE∽△EAF;
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí),直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo).
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(1)如圖甲,①求反比例函數(shù)的解析式;②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖乙,若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng),連接CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F點(diǎn).
①試說明△CDE∽△EAF;
②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí),請求出F點(diǎn)的坐標(biāo).

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如圖,一條直線與反比例函數(shù)y=
kx
的圖象交于A(1,5),B(5,n)兩點(diǎn),與x軸交于D點(diǎn).

(1)如圖甲,①求反比例函數(shù)的解析式;②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)連接AO、BO,求△ABO的面積;
(3)如圖乙,在等腰梯形OBCE中,BC∥OE,OD=CE,OE在Y軸上,過點(diǎn)C作CF⊥Y軸于點(diǎn)F,CF和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P,當(dāng)梯形OBCE的面積為10時(shí),請判斷PC和PF的大小關(guān)系,并說明理由.

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如圖,一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4)B(4,n)兩點(diǎn),與軸交于D點(diǎn),AC⊥軸,垂足為C.

(1)如圖甲,①求反比例函數(shù)的解析式;②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖乙,若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng),連結(jié)CE,作∠CEF=45°,EF交AC于F點(diǎn).試說明△CDE∽△EAF;

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