Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸

1.求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；

2.當(dāng)BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；

3.在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q（點Q在點P的上方），且PQ=1，要使四邊形BCPQ的

周長最小，求出P、Q兩點的坐標(biāo)

 

Answer 1

 

1.由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．設(shè)經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．

則 4a+2b+2=2，    9a+3b+2=0   ，

解得 a= ，b=    ，

∴y=

2.由y==．

∴頂點坐標(biāo)為G（1， ）．

過G作GH⊥AB，垂足為H．

則AH=BH=1，GH=-2=．

∵EA⊥AB，GH⊥AB，                             

∴EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位線．

∴EA=2GH= ．

過B作BM⊥OC，垂足為M．則MB=OA=AB．

∵∠EBF=∠ABM=90°，

∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF．

∴Rt△EBA≌Rt△FBM．

∴FM=EA=．

∵CM=OC-OM=3-2=1，

∴CF=FM+CM= ．

3.要使四邊形BCGH的周長最小，

將B向下平移一個單位至K，取C關(guān)于對稱軸對稱點M．

連接KM交對稱軸于P，將P向上平移1個單位至Q，

可使KP+PM最短．則QPKB為平行四邊形．

QB=PK，

連接CP，軸對稱求出CP=MP，

則CP+BQ最小，

因為CB，QP定值，則四邊形最短，

得點C1的坐標(biāo)為（-1，1）．可求出直線BC1的解析式為y=x+ ．

直線y= x+ 與對稱軸x=1的交點即為點Q，坐標(biāo)為Q（1，）．

∴點P的坐標(biāo)為（1， ）．

 解析:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題目，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用三角形中位線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．