Question

【題目】如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA＝5，OC＝4．在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，邊AE上有一動點(diǎn)P（不與A，E重合）自A點(diǎn)沿AE方向向E點(diǎn)勻速運(yùn)動，運(yùn)動的速度為每秒1個(gè)單位長度，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒（0＜t＜5），過P點(diǎn)作ED的平行線交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作AE的平行線交DE于點(diǎn)N．

（1）直接寫出D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，D（　 　），E（　 　），直接判斷四邊形NMPE的形狀為　 　；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形NMPE是正方形？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時(shí)刻點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（0，），（2，4），矩形；（2）t＝；（3）t＝或t＝2．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE＝OA，OD＝DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長，進(jìn)而可求出CE的長，也就得出了E點(diǎn)的坐標(biāo)．在直角三角形CDE中，CE長已經(jīng)求出，CD＝OC﹣OD＝4﹣OD，DE＝OD，用勾股定理即可求出OD的長，也就求出了D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)四邊形PMNE是個(gè)矩形，可用時(shí)間t表示出AP，PE的長，然后根據(jù)相似三角形APM和AED求出PM的長，根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；

（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）ME＝MA時(shí)，此時(shí)MP為三角形ADE的中位線，那么AP＝ ，據(jù)此可求出t的值，過M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，縱坐標(biāo)為D點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半．由此可求出M的坐標(biāo)．

（Ⅱ）當(dāng)MA＝AE時(shí)，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長，然后根據(jù)相似三角形AMP和ADE來求出AP，MP的長，也就能求出t的值．根據(jù)折疊的性質(zhì)，此時(shí)AF＝AP，MF＝MP，也就求出了M的坐標(biāo)；

（Ⅲ）EM＝EA的情況不成立．

解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∵在Rt△ABE中，AE＝AO＝5，AB＝4，BE＝ ＝3，

∴CE＝2，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），

在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，

又∵DE＝OD，

∴（4﹣OD）2+22＝OD2，

解得：OD＝ ．

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．

∵PM∥DE，MN∥EP，

∴四邊形NMPE為平行四邊形．

又∵∠DEA＝90°，

∴四邊形PMNE為矩形；

故答案為：（0，），（2，4），矩形；

（2）∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴ ＝ ，

∴PM＝ ．

又∵AP＝t，ED＝ ，AE＝5，

∴PM＝ ＝ ，

當(dāng)PM＝PE時(shí)，四邊形NMPE是正方形，

即＝5﹣t，

解得：t＝ ，

當(dāng)t＝時(shí)，四邊形NMPE是正方形；

（3）（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME＝MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME＝MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點(diǎn)，

∴t＝AP＝ AE＝ ，

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點(diǎn)，

過點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF＝OD＝ ，OF＝OA＝ ，

∴當(dāng)t＝時(shí)，（0＜＜5），△AME為等腰三角形，

此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；

（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM＝AE＝5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD＝ ＝ ＝ ，

過點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F，

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED，

∴，

∴t＝AP＝ ，

∴PM＝ t＝ ，

∴MF＝MP＝，OF＝OA﹣AF＝OA﹣AP＝5﹣2，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，（0＜2＜5），此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（5﹣2，）

（Ⅲ）根據(jù)圖形可知EM＝EA的情況不成立，

綜合綜上所述，當(dāng)t＝ 或t＝2時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ）或（5﹣2，）．