Question

【題目】鈍角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，過(guò)點(diǎn)A的直線l交BC邊于點(diǎn)D．點(diǎn)E在直線l上，且BC=BE．
（1）若AB=AC，點(diǎn)E在AD延長(zhǎng)線上． 當(dāng)α=30°，點(diǎn)D恰好為BE中點(diǎn)時(shí)，補(bǔ)全圖1，直接寫(xiě)出∠BAE=°，
∠BEA=°；
（2）如圖2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
（3）如圖3，若AB＜AC，∠BEA的度數(shù)與（1）中②的結(jié)論相同，直接寫(xiě)出∠BAE，α，β滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）60；30
（2）解：如圖2中，延長(zhǎng)CA到F，使得BF=BC，則BF=BE=BC，連接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=α，

∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，

∴∠BAM=∠BAN，

∴BM=BN，

在Rt△BMF和Rt△BNE中，

，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE．

∴∠BEA=∠F，

∵BF=BC，

∴∠F=∠C=α，

∴∠BEA=α

（3）解：結(jié)論：∠BAE=α+β．理由如下，

如圖3中，連接EC，

∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，

∴△ADC∽△BDE，

∴ = ，

∴ = ，∵∠ADB=∠CDE，

∴△ADB∽△CDE，

∴∠BAD=∠DCE，

∠ABD=∠DEC=β，

∵BC=BE，

∴∠BCE=∠BEC，

∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β

【解析】解：（1）補(bǔ)全圖1，如圖所示．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AE⊥BC，
∴EB=EC，∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAE=60°
∵BC=BE，
∴△BCE是等邊三角形，∠DEB=∠DEC，
∴∠BEC=60°，∠BEA=30°
所以答案是60，30．